Зимняя математическая школа СПбГУ — ВШЭ

Иван Ремизов, факультет информатики, математики и компьютерных наук,  НИУ ВШЭ Нижний Новгород, ИППИ РАН

Название курса: Черновские аппроксимации полугрупп операторов и приближённое решение дифференциальных уравнений.

В миникурсе из трёх лекций будет рассказано о новых методах из арсенала современного функционального анализа. С их помощью можно выражать решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами через эти коэффициенты. Ситуация полностью аналогична тому, как решения квадратных алгебраических уравнений выражаются через его коэффициенты. Решение дифференциального уравнения представляется в виде предела функций, каждая из которых дана явно и явным образом содержит переменные коэффициенты уравнения. Предлагаемая техника применима к обыкновенным дифференциальным уравнениям, к параболическим и эллиптическим дифференциальным уравнениям с частными производными, с ПЕРЕМЕННЫМИ коэффициентами - произвольными функциями, играющими роль параметров, через которые выражается решение. Звучит как фантастика, но читайте дальше, приходите на курс, и вы увидите, что всё это взаправду.

Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, если А - квадратная числовая матрица, то решение задачи Коши U'(t)=AU(t), U(0)=b представимо в виде U(t)=exp(tA)b, где экспонента от матрицы задаётся стандартным степенным рядом для экспоненты. Оказывается, те же самые формулы справедливы и в случае, когда А - неограниченный линейный оператор в банаховом пространстве. Причём, если оно реализовано как пространство функций, и А — это действующий на эти функции дифференциальный оператор, то обыкновенное дифференциальное уравнение U'(t)=AU(t), U(0)=b в банаховом пространстве можно трактовать как дифференциальное уравнение с частными производными относительно функции u, принимающей числовые значения и задаваемой равенством u(t,x)=U(t)(x)=(exp(tA)b)(x). Например, если А - это оператор вычисления второй производной, (Af)(x)=f''(x), то U'(t)=AU(t), U(0)=b это уравнение теплопроводности u_t(t,x)=u_{xx}, u(0,x)=b(x).

Параметризованное неотрицательным числом t семейство операторов exp(tA) называется С_0-полугруппой с инфинитезимальным генератором А. Пример выше показывает, что в нахождении полугруппы теплопроводности нет никакого труда, поскольку решения уравнения теплопроводности известны из курса уравнений с частными производными. Но ситуация становится сложнее, когда А - дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. Причём ряд использовать для нахождения экспоненты уже нельзя, так как это был бы ряд по степеням неограниченного оператора, и не стоит ожидать сходимости по норме в пространстве операторов. Однако, если научиться всё-таки находить exp(tA) для (Af)(x)=p(x)f''(x)+q(x)f'(x)+r(x)f(x), то можно будет выразить через функции p,q,r,b решение задачи Коши u_t(t,x)=a(x)u_{xx}+ b(x)u_x+c(x)u, u(0,x)=b(x). Более того, через функции a,b,c,g можно будет выразить решение обыкновенного дифференциального уравнения p(x)f''(x)+q(x)f'(x)+r(x)f(x)=g(x).

На курсе будет рассказано, как находить exp(tA) приближённо в виде предела основанных на теореме Чернова операторов, будут даны явные формулы и показано, как можно получать аналогичные формулы самостоятельно. Более того, будут даны формулировка и схема доказательства теоремы о скорости сходимости получаемых аппроксимаций. Эти результаты были опубликованы в журналах совсем недавно - в январе и декабре 2025 года. Приходите и приглашайте друзей, учеников, коллег!

Александр Калмынин, факультет математики, НИУ ВШЭ Москва

Название курса: Группа Галуа случайного многочлена: гипотеза ван дер Вардена.

Пусть f(x) — случайный многочлен степени n с целыми коэффициентами. Как устроена группа Галуа его поля разложения? Ясно, что с большой вероятностью она изоморфна группе перестановок S_n — группе Галуа многочлена общего положения, поскольку в других случаях должны возникать соотношения между коэффициентами. Впервые это утверждение доказано ван дер Варденом, он же сформулировал гипотезу: основной вклад во множество "исключительных" многочленов (группа Галуа которых меньше S_n) вносят не неприводимые многочлены со сложной симметрией, а приводимые многочлены. Например, многочлены с f(0)=0 уже составляют заметную долю исключительных. То есть, среди многочленов с группой Галуа, отличной от S_n, положительную долю составляют приводимые. Продвижения в направлении гипотезы ван дер Вардена требуют сочетания алгебраических соображений в духе теоремы Дедекинда и результатов Фурье-анализа типа неравенств большого решета. Мы поговорим о классических результатах в этой области, а также о недавнем полном решении гипотезы ван дер Вардена, полученном Бхаргавой.

Михаил Алфимов, факультет математики, НИУ ВШЭ Москва

Название курса: Поток Риччи в квантовой теории поля.

В данном курсе мы обсудим понятие перенормировок в квантовой теории поля. А именно на примере специального типа таких теорий, называемых двумерными сигма-моделями, мы выведем уравнение ренормгруппового потока в лидирующем порядке теории возмущений - знаменитое уравнение потока Риччи. На лекциях будут приведены известные примеры решений такого уравнения и их связь с геометрией пространства полей.

Павел Осипов, факультет математики, НИУ ВШЭ Москва

Название курса: Гессианова геометрия.

Плоским аффинным многообразием называется многообразие с атласом, функции переклейки которого аффинны. Гессиановым многообразием называется плоское аффинное многообразие с метрикой, локально являющейся гессианом функции.

Одной из главных мотиваций к изучению гессиановой геометрии является её близкая связь с информационной геометрией — наукой, изучающей семейства вероятностных распределений средствами дифференциальной геометрии.

Другой взгляд на гессианову геометрию происходит из её сходства с кэлеровой геометрией.  Кэлерова метрика локально является комплексным гессианом функции. Поэтому гессианова геометрия может рассматриваться как вещественный аналог кэлеровой геометрии.

Я расскажу, как гессианова геометрия происходит из информационной, о связи с кэлеровой геометрией и о том, что известно о классификации компактных и однородных гессиановым многообразий.

Дмитрий Косолобов, МКН СПбГУ, Санкт-Петербург

Название курса: Поиск в сжатых данных.

Курс посвящён задаче поиска фрагментов в больших базах данных, представляющих собой сжимаемые неструктурированные последовательности байтов («поиск подстроки в строке»). Как быстро найти фрагмент из 100 символов в базе ДНК размера 100 Гб? Что если данные хорошо сжимаются zip архивом, но без сжатия не вмещаются в оперативную память? Будут разобраны базовые идеи в основе алгоритмов и структур данных, решающих подобные вопросы: суффиксные массивы, преобразование Барроуза—Уиллера, FM-индекс, r-индекс, индексы на основе грамматик.

Егор Воронецкий, МКН СПбГУ, Санкт-Петербург

Название курса: Композиционные алгебры.

Композиционная алгебра — это конечномерная алгебра с единицей, на которой есть невырожденная квадратичная форма q, удовлетворяющая закону композиции q(x y) = q(x) q(y). Примерами являются алгебры кватернионов и октонионов над полем вещественных чисел. В курсе будет изложены структурная теория таких алгебр над полями, исключительные группы типа G_2, а также основные сведения про квадратичные формы.

Николай Осипов, МКН СПбГУ, Санкт-Петербург 

Название курса: О рациональности.

Лектору, который занимался как такими областями теоретической математики, как математический анализ, гармонический анализ, вероятностные методы в анализе, так и прикладными вопросами, такими как разработка новых методов машинного обучения и применение их в медицине, не очень просто вспомнить задачу, которая бы не сводилась к сравнению между собой вероятностных распределений (вероятностных мер) относительно определенного отношения порядка. Дело в том, что любой метод лечения, любой метод диагностики, а также любая абстрактная функция, которую почти всегда можно интерпретировать как случайную величину, порождают вероятностную меру. При этом теория ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна, которая является основой математической теории игр и теории принятия решений, является мощным инструментом, который позволяет полностью описать все "хорошие" (рациональные) способы сравнивать между собой вероятностные распределения. Взгляд через призму этой теории как на вопросы машинного обучения, так и на вопросы абстрактного математического анализа, приводит к прорывным результатам и выявлению глубоких связей между совершенно разными разделами математики. Что касается машинного обучения, мы увидим как теория фон Неймана-Моргенштерна позволяет точно определить, где находится граница применимости машинного обучения, которая затем явно достигается с помощью современных методов глобальной стохастической оптимизации (роевые методы, генетические алгоритмы). Что касается абстрактного математического анализа, мы увидим как доказательство неравенств в анализе сводится к вопросам рационального (по фон Нейману-Моргенштерну) выбора стратегии в простой игре, в которой бюджет агента ведет себя как мартингал. В эту схему так или иначе вписываются, с одной стороны, большинство именных неравенств в анализе, а сдругой стороны - фундаментальные вопросы из области экономики и эффективных рынков. Одна из целей докладчика - показать, что на наличие рациональности в математических законах можно смотреть как на один из принципов естествознания, столь же фундаментальный, как "всякая функция в малом линейна" и т.п. (любой принцип естествознания, разумеется, не является точной теоремой).

Фёдор Петров, МКН СПбГУ, Санкт-Петербург

Название курса: Концентрация меры.

Концентрация меры - явление в теории вероятностей, анализе и комбинаторике, состоящее в том, что при достаточно общих и не слишком обременительных ограничениях значение функции большого числа переменных почти постоянно. Классический пример: почти вся поверхность многомерной сферы сосредоточена вблизи экватора. В 1970-е Виталий Мильман нашел применение этого факта в локальной геометрии банаховых пространств, предъявив новое доказательство знаменитой теоремы Дворецкого (исходно - гипотезы Гротендика): любое центрально-симметричное выпуклое тело достаточно большой размерности имеет почти круглое центральное сечение заданной размерности. С тех пор идея концентрации меры нашла множество ярких и эффектных приложений, некоторые из которых я хотел бы осветить в курсе.

Каждый лектор прочитает мини курс 3-4 лекций  в период проведения конференции.

Мероприятие проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России, грант на создание и развитие МЦМУ «Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера» соглашения № 075–15–2025–343, № 075–15–2025–344.