И.А. Панин, "Алгебраическая геометрия I"

И.А. Панин

Алгебраическая геометрия I

Анонс.
Мы будем сначала работать над алгебраически замкнутым полем k, например над полем С. Будут определены аффинные алгебраические
многообразия, алгебраические многообразия и морфизмы между ними.
Построим произведение алгебраических многообразий.
Далее рассмотрим классы проективных и квази-проективных, аффинных и квази-аффинных многообразий. Рассмотрим конструкции Мах:=Specm и Proj. Первая описывает все аффинные,вторая—все проективные многообразия. Рассмотрим примеры: Р^n, гиперповерхности в Р^n, квадрика, Грассмановы многообразия и т.д. Докажем, что образ проективного проективен.

Определим понятие размерности, неприводимости, разложим каждое многообразие на неприводимость компоненты (однозначно). Определим касательное пространство в точке, дадим определения гладкости в точке и
гладкости многообразия. Докажем лемму Нетер о нормализации, теорему о размерности слоев и научимся «считать параметры».

Докажем, гладких неприводимых кривых над k столько, сколько расширений
K/k вида K > k(t)>k таких, что K конечно над k(t). Покажем, что каждый непостоянный морфизм между такими кривыми — это разветвленное накрытие.
Докажем формулу Гурвица (если k=C) и выведем следствия.

Введём понятие алгебраического векторного расслоения. Если его база Х аффинна, то докажем, что пространство Sect его сечений над Х — это локально свободный С[Х]-модуль.

Дадим конструкцию раздутия гладкого многообразия в точке (в замкнутом гладком подмногообразии). Докажем, что гладкая квадрика в Р^3 — это
произведение Р^1 на себя, что гладкая кубика в Р^3 - это Р^2 с шестью раздутыми точками. Отсюда увидим, что на такой кубике лежит ровно 27 прямых.

Далее поле k станет не замкнутым (R, Q, конечное поле, C(t), … ). Определим аффинные и произвольные алгебраические многообразия над таким k. Определим морфизмы между ними. Разберём примеры, чтобы развить интуицию о многообразиях над таким полем k.

Одна из целей курса — подвести слушателей к теории схем Гротендика. Последних пока не будет. Но, мы будем систематически использовать язык,
который позже плавно приведёт к схемам Гротендика.

Списка литературы пока нет, но появится. Предполагается знание полей, колец
(коммутативных), модулей, идеалов. Знакомство с с понятиями топологического пространства и непрерывного отображения. Буду пояснять по ходу курса, что ещё надо почитать (с чем познакомиться) самостоятельно.
Курс рассчитан на вдумчивых студентов 2-го курса и старше.