С. Ягунов "Пучки и их когомологии"

С. Ягунов

Пучки и их когомологии

Определения многих важных математических понятий даются на двух уровнях:
локальном и глобальном. Обычно на локальном уровне рассматривают достаточно просто
устроенные объекты, такие как векторные пространства, сходящийеся ряды, кольца, и т.д., а почти вся сложность
глобального объекта задается правилами (данными склейки), по которым локальные объекты склеиваются в глобальный.
На этом пути возникают такие важные понятия, как векторное расслоение, аналитическое многообразие, схема ...
Сразу же оказывается, что свойства глобального объекта могут радикально не совпадать со свойствами
локальных. Так, например, хорошо известна теорема о "причесывании ежа": не существует нигде не обращающегося в ноль
непрерывного касательного векторного поля на двумерной сфере. Здесь локальными объектами являются касательные
пространства к сфере в каждой ее точке, которые, по отдельности, конечно, имеют большой запас ненулевых векторов. Эта теорема
неразрывно связана с топологическими свойствами пространства, на котором рассматривается векторное поле.
Так, например, аналогичное утверждение для трехмерной сферы оказывается уже неверным.

Теория пучков занимается аксиоматизацией и изучением общих свойств объектов, построенных таким путем.
При этом, сразу же обнаруживается, что "самый важный функтор" на категории
пучков -- функтор глобальных сечений, является точным лишь с одной стороны. Попытки понять, как работать с таким функтором,
приводят к необходимости построения теории когомологий пучков. С точки зрения этой теории, обычная гомологическая
алгебра оказывается, по сути, теорией, изучающей когомологии пучка над одноточечным пространством.

В современной математика пучки возникают почти на каждом шагу: алгебраическая геометрия, топология, математический анализ,
математическая физика и дифференциальные уравнения --- это далеко не полный перечень. Таким образом, владение методами
теории пучков позволяет не только лучше понимать различные разделы математики, но и видеть глубокие связи и взаимоотношения
между ними.

От слушателей курса потребуется знание базовых понятий теории категорий, желательно (но не обязательно) также
представление о гомологической алгебре.