Е.О. Степанов (ПОМИ, UNIPI), "Современные вариации на тему оптимального переноса массы"

Евгений Степанов, ПОМИ РАН и Пизанский университет (Италия)

«Современные вариации на темы оптимального переноса массы»

Аннотация.
Целью курса является ввести слушателей в круг основных современных идей и приложений, развивающихся вокруг классической задачи об оптимальном переносе массы, сформулированной более 200 лет назад Г. Монжем. Как оказалось, эта задача является весьма глубокой, а разработанные для ее решения инструменты находят свое применение в самых разных областях математики, в частности, в дифференциальной геометрии, метрической геометрии, теории вероятностей, уравнениях в частных производных, геометрической теории меры.

Курс полезен не только математикам, но и гораздо более широкому кругу специалистов, в частности, физикам и информатикам. Однако материал курса достаточно продвинутый и требует от слушателей хороших рабочих знаний вещественного анализа и линейной алгебры, а также основ теории вероятностей / теории меры и функционального анализа (а желательно еще и римановой геометрии или по крайней мере геометрии кривых и поверхностей).

Примерный набор тем.
1. Классическая задача Монжа. Ослабленная формулировка Канторовича. Вероятностная интерпретация. Квадратичная и линейная задачи. Двойственные формулировки. Транспортный потенциал. [Приложения: изопериметрическое неравенство и/или другие неравенства.]
2. Связь с уравнениями в частных производных (с разной степенью подробности, возможно – только обзорно: теория Y.Brenier – уравнение неразрывности; уравнение переноса массы; уравнение Монжа-Ампера). Транспортная плотность.
3. Существование решений задачи Монжа (решение квадратической задачи, решение линейной задачи в одномерном случае, основная идея решения линейной задачи в общем случае).
4. Метрика Канторовича (Вассерштайна). Пространства мер с метрикой Канторовича. Касательный формализм и displacement convexity. Пространство мер с расстоянием Канторовича как многообразие. Градиентные потоки и минимизирующие движения. [Otto calculus и приложения к уравнениям математической физики.] [Энтропийная регуляризация]
5. [Сети оптимального переноса массы].
Потоки Уитни, основные понятия. Дробные массы. Ветвящиеся транспортные сети. Метрики Канторовича (Вассерштайна) с дробными показателями. [Задача оптимальной ирригации. Регулярность оптимальных сетей.]