А.Н. Фролов, "Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, случайных процессов и их приращений"

Впервые предельные теоремы для сумм независимых случайных величин и случайных процессов встречаются нам в общем курсе теории вероятностей. Это — центральная предельная теорема, слабый и усиленный законы больших чисел, закон повторного логарифма (обычно для винеровского процесса) и др. Их различные обобщения и усиления образуют значимую часть теории вероятностей и теории случайных процессов. В курсе предполагается сначала дать обзор некоторых предельных теорем и методов их доказательств. Затем планируется обсудить устойчивые законы (распределения, предельные в смысле слабой сходимости для нормализованных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин) и условия сходимости к ним. После этого будет обсуждаться асимптотическое поведение вероятностей больших уклонений сумм и методы доказательства соответствующих результатов. Здесь будет рассмотрен случай и конечных, и бесконечных дисперсий. Анализ вероятностей больших уклонений является наиболее мощным методом доказательства сильных предельных теорем (теорем о сходимости с вероятностью 1). К ним мы и перейдем от больших уклонений. Сначала будет обсуждаться закон повторного логарифма, а затем -- предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин. Результаты для приращений будут рассматриваться с точки зрения универсального подхода, предложенного автором этого курса. Будет показано, что усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма и еще целый ряд результатов для приращений сумм независимых случайных величин являются проявлениями некоторого общего закона. Кроме сумм, предполагается рассмотреть также соответствующие результаты для процессов восстановления, процессов сложного суммирования и однородных процессов с независимыми приращениями.