И.А. Панин, "Геометрия проективных пространств и общая теорема Римана-Роха"

Геометрия проективных пространств и общая теорема Римана--Роха

И.А. Панин ( ПОМИ)

В четверг 16.02.2023 в 19.30 состоится
1-е занятие весеннего семестра данного спецкурса в ПОМИ а к. 203
С 19.30 до 21.30.
Хотя это и продолжение, но приглашаются всё желающие,
так как вначале будут сделаны некоторые напоминания. В частности, будет напомнено определение алгебраического многообразия и определение морфизма алгебраических многообразий.

Изложение будет следовать статье [4] и сопровождаться большим колличеством примеров.
Будет введено понятие ориентированной предтеории когомологий на алгебраических многообразиях.
Будет сформулирована и доказана теорема Римана--Роха для кольцевого преобразования между
ориентированными предтеориями когомологий. Будет дана явная формула для рода Тодда, связанного
с данным кольцевым преобразованием. Материал будет иллюстрирован классическими и другими примерами.

Теорема Римана--Роха для связных компактных комплексных кривых.
Напомним, что мероморфной функцией на связной компактной комплексной кривой X называется такая голоморфная функция f на X-D, где D -- это конечное подмножество в X, что f имеет в точках из D только полюса.

Вопрос Римана--Роха для кривых:
пусть D -- конечное подмножество в X и для каждой точки x из D задано целое неотрицательное число d_x.
Какова размерность пространства всех мероморфных функций на X, имеющих полюса только в точках из D,
причем в каждой точке x из D порядок полюса не превосходит числа d_x ?

Теорема (Римана--Роха для кривых). Указанная размерность равна d-g(X)+1,
если d:=сумме d_x не меньше 2g(X)-1. Здесь g(X) - род связной компактной комплексной кривой X.

Список литературы.
[1] A.Borel, J.-P.Serre. Le theoreme de Riemann-Roch, Bull. Soc. Math. France, 86 (1958), 97--136.

[2] A.Grothendieck. La theorie des classes de Chern, Bull.Soc.Math.France, 86 (1958), 136--154.

[3] F. Hirzebruch. Topological methods in algebraic geometry. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, b. 131, 1966.

[4] I. Panin (after I.Panin and A.Smirnov), Riemann-Roch theorems for oriented cohomology,
in Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory (J.P.C. Greenless, ed.)
NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. 131 (2004), 261–334,
Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.

Предполагается, что слушатели поверхностно знакомы с гладкими комплексными алгебраическими
многообразиями (впрочем это будет вкратце напомнено).