С. Ягунов, " Введение в модулярные формы и функции: теория и приложения"

Изучая алгебраическую геометрию или комплексного анализа, мы довольно быстро понимаем фундаментальное значение,
которое для всей области в целом играет пучок дробно-рациональных/мероморфных функций на пополненной
комплексной плоскости/проективной комплексной прямой. Помимо своего фундаментального значения, этот объект обладает
также достаточно простым устройством --- большинство вопросов сводятся к изучению кольца
однородных комплексных многочленов, градуированного степенями.

Модулярные функции --- суть те же мероморфные функции, но на комплексных кривых специального вида, а
модулярные формы (различных весов) на этих кривых аналогичны однородным многочленам на комплексной проективной
прямой. Оказывается, что пространства модулярных форм каждого веса конечномеры и существуют алгоритмы для вычисления из базисов.
Такое "хорошее поведение" модулярных форм делает их теорию, располагающуюся на границе математического анализа и алгебры,
чрезвычайно элегантной.

Помимо своей внутренней красоты, модулярные формы/функции обладают многочисленными приложениями в самых различных областях
математики. Уже давно известна их польза для нахождения сумм делителей, вычисления количества представлений чисел в виде сумм квадратов,
нахождения числа классов квадратичных форм. В прошлом веке выяснилось и ключевое значение модулярных форм при исследовании
функции Рамануджана (задающей число разбиений числа в сумму слагаемых), в доказательствах иррациональности значения дзета
функции Римана от 3 и Большой Теоремы Ферма.

Коэффициенты разложений Фурье модулярных форм дают нам много новых целочисленных констант (например, 1728, 196884 и т.д.),
иногда появляющихся в самых неожиданных местах. Например, в связи с размерностями представлений самой большой
спорадической простой группы. Эта область известна как Monstrous moonshine.
Уже в этом веке возникли многочисленные связи с дифференциальными уравнениями и математической физикой, теорией струн.

Конечно, невозможно рассказать обо всем этом в нашем кратком курсе. Однако, мы попробуем разобраться с основными определениями
и классическими результатами в теории модулярных функций/форм, что послужит для заинтересованных слушателей основой для
дальнейшего изучения предмета.