С. Ягунов, " Модулярные формы и приложения"
С. Ягунов
Модулярные формы и приложения III
Весной 2024 продолжается курс "Модулярные формы и приложения II"
Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб). Первая лекция пройдет 20 сентября в ПОМИ (комната 311)
Если вы хотите посещать курс и еще не зарегистрированы, сделайте это, пожалуйста здесь.
Сайты курса: yagunov.info/Modular/mindex4.html
https://indico.eimi.ru/category/97/
Телеграм канал: https://t.me/+-vqf-efH3yIzNzli
В первом семестре мы, в общих чертах, обсудили классическую теорию модулярных форм и функций относительно полной модулярной группы SL_2(ℤ). Мы определили модулярные функции и формы, вычислили размерности их пространств, определили действующие в этих пространствах операторы Гекке (Hecke). Также обсуждались различные арифметические приложения, такие, например, как формулы для сумм степеней делителей чисел и функция Рамануджана.
Второй семестр был, в значительной степени, посвящен эллиптическим функциям и кривым. Мы ознакомились с различными подходами к теории эллиптических функций, научились считать рациональные точки на некоторых эллиптических кривых, определили их дзета-функции. Мы обсудили такие широко известные гипотезы, как гипотеза Хассе и Берча-Суиннертон-Дайера. Также, в качестве одного из хорошо известных арифметических приложений теории эллиптических кривых, мы обсуждали классическую задачу о конгруэнтных числах.
В этом семестре мы займемся развитием теории модулярных форм относительно конгруэнц-подгрупп. Постараемся рассказать немного о гипотезе Таниямы-Вейля (из которой следует, например, великая теорема Ферма) и о стратегии ее доказательства.
Однако, мы начнем семестр, как обычно, с обсуждения одного классического вопроса из арифметики. На сей раз, это будет проблема о представимости чисел суммами квадратов, и вычислении числа таких представлений. Ответы на эти вопросы мы извлечем из теории модулярных форм. Необходимые факты о модулярных формах будут рассказаны (напомнены) в рамках курса. Поэтому, приглашаются, также, заинтересованные слушатели, не участвовавшие в предыдущих семестрах.
Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб). Первая лекция пройдет 5 сентября (дата изменилась!) в ПОМИ (комната 311)
Если вы хотите посещать курс и еще не зарегистрированы, сделайте это, пожалуйста, здесь.(на сайте С. Ягунова) и здесь (на сайте Indico EIMI)
Планируемый курс является продолжением курса "Введение в модулярные формы и функции: теория и приложения" (сайт С.Ягунова, Сайт Indico Eimi) , читаного в весеннем семестре 2023г. В предыдущем семестре мы, в общих чертах, обсудили классическую теорию модулярных форм и функций. В этом семестре мне хотелось бы сделать больший акцент на приложениях.
Однако начнем мы с рассказа о такой интересной и важной области, тесно связанной с модулярными формами, как эллиптические кривые и функции. Необходимые факты о модулярных формах будут рассказаны (напомнены) в рамках курса. Поэтому, пришлашаются, также, заинтересованные слушатели, не посещавшие первой части курса. Эллиптические криивые и эллиптические функции также играют чрезвычайно важную роль в современной математике. Например, доказательство Эндрю Вайлсом (Andrew Wiles) Великой Теоремы Ферма является, по сути, доказательством частного случая гипотезы Таниямы--Вейля, связывающей эллиптические кривые с теорией модулярных форм.
Приведем некоторые отрывки из анонса первой части курса, посвященные, в основном, приложениям теории модулярных форм.
... Помимо своей внутренней красоты, модулярные формы/функции обладают многочисленными приложениями в самых различных областях математики. Уже давно известна их польза для нахождения сумм делителей, вычисления количества представлений чисел в виде сумм квадратов, нахождения числа классов квадратичных форм. В прошлом веке выяснилось и ключевое значение модулярных форм при исследовании функции Рамануджана , в доказательствах иррациональности значения дзета функции Римана от 3 и Большой Теоремы Ферма.
... Коэффициенты разложений Фурье модулярных форм дают нам много новых целочисленных констант (например, 1728, 196884 и т.д.), иногда появляющихся в самых неожиданных местах. Например, в связи с размерностями представлений самой большой спорадической простой группы. Эта область известна как Monstrous moonshine.
...Уже в этом веке возникли многочисленные связи с дифференциальными уравнениями и математической физикой, теорией струн.
Литература.
Материалы первого семестра курса и видео-записи лекций доступны по ссылке.
