Поведение треугольного проектора в классах Шаттена - фон Неймана $S_p$, $p\le1$, при приближении числа $p$ к 1

• В.В. Пеллер

В докладе речь идёт о совместных результатах с А.Б. Александровым. Рассматривается треугольный проектор в пространстве матриц размера $n\times n$. Изучается поведение норм таких проекторов, когда $n$ стремится к бесконечности, а число $p$ отделено он нуля. Получены точные оценки равномерно по $n$ и $p$, из которых, в частности вытекает, что при $p=1$ нормы таких проекторов растут логарифмическим образом.

Задача о платке

• P.A. Borodin

Доклад посвящен следующей нерешенной задаче, возникшей в теории квантованных приближений: верно ли, что разносторонний липшицев образ квадрата в гильбертовом пространстве порождает плотную аддитивную полугруппу? Приводятся результаты о положительном ответе на этот вопрос в различных частных случаях, из которых выводится известная теорема Кореваара: для всякой ограниченной односвязной области $D$ комплексной плоскости наипростейшие дроби с полюсами на границе D плотны в пространстве $A(D)$ функций, голоморфных в $D$.

Functional description of a class of quasi-invariant determinantal processes

• Roman Romanov

We give a characterization of a class of quasi-invariant determinantal point processes governed by a projection kernel in terms of de Branges spaces of entire functions.

Об одной гипотезе В.Н. Русака

• А.Л. Лукашов

В начале 60-х годов прошлого века Валентин Николаевич Русак (1936-2022) ввел интерполяционные процессы из рациональных функций с фиксированными знаменателями, а также высказал интересную гипотезу, с ними связанную. Эти интерполяционные процессы в дальнейшем применялись при решении ряда задач теории приближений, но гипотеза оказалась незамеченной. В докладе будет дан обзор результатов, относящихся к оценкам соответствующих констант Лебега.

Фреймы Габора на нерегулярных решетках

• А.В. Семенов

Одной из главных тем частотно-временного анализа является поиск представления произвольной функции $f\in L^2(\mathbb{R})$ как суммы хорошо локализованных функций в частотно-временной плоскости. Для $g\in L^2(\mathbb{R})$ рассмотрим набор $\mathcal{G}(g;\Lambda)=\{\pi_{\mu, \nu} g\}_{(\mu, \nu) \in \Lambda},$ где $\pi_{x,\omega}g(t)=e^{2\pi i \omega t}g(t-x)$, а $\Lambda \subseteq \mathbb{R}^2$ --- некоторая свободная абелева группа. Такой набор называется системой Габора функции $g(t)$ по решетке $\Lambda$. Если вдобавок выполнено $ A\|f\|^2_2\leq \sum_{m,n}|(f, \pi_{\mu, \nu} g)|^2\leq B\|f\|^2_2, \quad f\in L^2(\mathbb{R}),$ то этот набор называется фреймом Габора, а множество $\mathcal{F}_g =\{\Lambda \mid \mathcal{G}(g;\Lambda) \text{ система Габора}\}$ называется фрейм-множеством функции $g(t)$. Полное описание фрейм-множеств $\mathcal{F}_g$ даже для классического случая решеток $\Lambda = \alpha \mathbb{Z} \times \beta \mathbb{Z}$ известно только для очень узкого класса функций: гауссиана $e^{-x^2}$ (см. [L,S,SW]), односторонней экспоненты $\chi_{x>0}e^{-x}$, симметричной экспоненты $e^{-|x|}$ (см. [Jans2,Jans3]) и гиперболического секанса $\frac{1}{e^x+e^{-x}}$ (см. [JansStr]). Недавно Белов с соавторами описали фрейм-множество для {\it рациональных функций герглотцевского типа} (см. [BKL1]). В 2023 году автор и Белов описали фрейм-множество сдвинутой sinc-функции и (бесокнечных) сумм спектральных сдвигов ядер Коши (см. [BelAVS]). Логично задать вопрос --- что происходит в нерегулярном случае? В 2021 году Белов с соавторами дали ответ для ядра Коши в случае <<правильной>> решетки $\Lambda = M \times N$ (см. [BKL2]). Ранее в [GRS] был разобран случай $\Lambda \times \beta \mathbb{Z}$ для тотально положительных функций конечного типа --- к этой же статье мы отсылаем для изучения истории вопроса. Несмотря на довольно большое количество попыток, очень мало информации известно в данный момент. Возможно ли обобщить эти результаты для полностью нерегулярного случая произвольной решетки $\Lambda$ даже для таких естественных для изучения функций, как ядро Коши?\par Доклад построен на кратком изложении результатов работы <<Frame set for shifted sinc-function>> (см. [BelAVS]) с дальнейшим обсуждением (полностью) нерегулярного случая для ядра Коши. Работа поддержана грантом 075-15-2022-287 министерства образования РФ. Также докладчик является победителем премии <<Молодая математика России>> и благодарен ее жюри и спонсорам. [BKL1] Y. Belov, A. Kulikov, Y. Lyubarskii, \textit{Gabor frames for rational functions}, Inventiones Mathematique, 231:431--466 (2023). [BKL2] Y. Belov, A. Kulikov, Y. Lyubarskii, \textit{Irregular Gabor frames of Cauchy kernels}, preprint https://browse.arxiv.org/pdf/2104.01121.pdf [BelAVS] Y. Belov and Andrei V. Semenov, \textit{Frame set for shifted sinc-function}, preprint, https://browse.arxiv.org/pdf/2309.05969.pdf [GRS] K. Gr¨ochenig, J.L. Romero, J. St¨ockler, \textit{Sampling theorems for shift-invariant spaces, Gabor frames, and totally positive functions}. Invent. Math. 211 (2018), no. 3, 1119- 1148. [Jans2] A. J. E. M.~Janssen, {\em Some Weyl-Heisenberg frame bound calculations,} Indag. Math., 7:165-- 182, (1996). [Jans3] A. J. E. M.~Janssen, {\em On generating tight Gabor frames at critical density,} J. Fourier Anal. Appl., 9(2):175--214, (2003). [JansStr] A.~Janssen, T.~Strohmer, {\em Hyperbolic secants yield Gabor frames}, Appl. Comput. Harmon. Anal., 12, 259--267, (2002). [L] Yu.~Lyubarskii, {\em Frames in the Bargmann space of entire functions,} in: Entire and Subharmonic Functions, Adv. Soviet Math., vol. 11, Amer.\ Math.\ Soc., Providence, RI, 1992, pp. 167--180. [S] K.~Seip, {\em Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann--Fock space. I,} J. Reine Angew.\ Math.\ {\bf 429} (1992) 91--106. [SW}] K.~Seip, R.~Wallst\'en, {\em Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann--Fock space. II, }J. Reine Angew.\ Math.\ {\bf 429} (1992) 107--113.

Analytic continuability of multiple power series into a sectorial domain

• Alex Mkrtchyan

We consider the problem of continuability into a sectorial domain for multiple power series in approach when the coeffcients of power series interpolates by values of an entire or a meromorphic functions at the natural numbers. The growth of the interpolating function describes the sectorial set to which the series sum extends. We obtain the multivariate version of Le Roy, Lindelof's theorem, i.e. establish a connection between the growth of the interpolating function of the coefficients on the imaginary subspace and the multivariate sectoral domain where the multiple series is analytically extends. This work was performed at the Saint Petersburg Leonhard Euler International Mathematical Institute and supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (agreement no. 075–15–2022–287).

Wavelets, 3

• Maria Skopina

L. Euler School in Analysis lecture

Wavelets, 4

• Maria Skopina

L. Euler School in Analysis lecture

Носители плюригармонических мер на торе и сфере

• Е.С. Дубцов

Пусть $\mathcal{D}$ обозначает полидиск $\mathbb{D}^n$ или открытый единичный шар $B_n$ из $\mathbb{C}^n$, $n\ge 2$. Мера $\mu$, заданная на границе Шилова $\partial\mathcal{D}$, называется плюригармонической, если интеграл Пуассона $P[\mu]$ является плюригармонической функцией в области $\mathcal{D}$. В силу общего принципа неопределенности плюригармоническая мера $\mu$ не может быть сконцентрирована на слишком малом множестве, так как определение накладывает на спектр меры $\mu$ весьма сильное ограничение. В докладе обсуждаются конкретные условия, которым удовлетворяют носители плюригармонических мер. В частности, получено точное ограничение на хаусдорфову размерность носителя для плюригармонической меры, заданной на торе $\partial\mathbb{D}^n$ при $n\ge 2$. Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда №23-11-00171, https://rscf.ru/project/23-11-00171/.

Новые результаты квазиконформного анализа

• С.К. Водопьянов

Теория квазиконформных отображений в $\mathbb R^n$, $n\geq2$, начало которой положено в работах 60-ых годов прошлого века, стимулировала различные обобщения, каждое из которых имеет свою область применения и специфические методы доказательств. Мы рассмотрим основные этапы развития квазиконформного анализа: от классической теории функций до ее современного состояния. Основная цель~--- сформулировать новую обобщающую концепцию, содержащую в качестве частного случая большинство исследуемых в литературе классов отображений. Будем говорить, что гомеоморфизм $\psi : D \to D'$ областей $D,D'$ в $\mathbb R^n$, $n\geq2$, принадлежит классу $\mathcal Q_{q,p;\omega}$, где $\omega:D'\to (0,\infty)$ --- весовая функция, если для любого кубического кольца $U = Q(x,R) \setminus \overline{Q(x, r)}\subset D'$ с прообразом $\psi^{-1}(U) = \psi ^{-1}(Q(x,R)) \setminus \psi^{-1}(\overline{Q(x, r)})$ в $D$ верно неравенство $ Cap_q^{\frac{1}{q}}(\psi^{-1}(U); L^1_q(D)) \leq \begin{cases} K_p Cap_p^\frac1p(U;L^1_p(D';\omega)),&\quad{1<q=p<\infty}, \Psi^\frac1\sigma_{q,p}(U) Cap_p^\frac1p(U;L^1_p(D';\omega)),&\quad{1<q< p<\infty}, \end{cases} $ где $K_p\in(0,\infty)$ --- некоторая константа, а $\Psi_{q,p}$ --- некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества на системе $\mathcal O_c(D)$ открытых множеств, a $\sigma$ определяется из $\frac1\sigma=\frac1q-\frac1p$, если $1 < q < p <\infty$, и $\sigma=\infty$, если $1 < q < p < \infty$. Оказывается~[1, Теорема 18], что {\it гомеоморфизм $\psi: D\to D'$ принадлежит классу $\mathcal Q_{q,p;\omega}$ тогда и только тогда, когда выполняется любое из двух условий. $(1)$ $\psi\in W^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$ имеет конечное искажение$:$ $D\psi(x) = 0$ почти всюду на $Z = \{x \in D \mid \det D\psi(x) = 0\}$, и операторная функция искажения $ D\ni x\to K_{q,p} (x, \psi) = \begin{cases} \frac{|D\psi(x)|} {| \det D\psi(x)|^\frac1p\omega^\frac1p(\psi(x))}, &\quad \text{если $\det D\psi(x)\ne 0$},\\ 0, &\quad \text{если $\det D\psi(x) = 0$}, \end{cases} $ принадлежит $L_\sigma(D)$. $(2)$ Оператор композиции $\psi^* : L^1_p(D';\omega)\cap \mathrm{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q (D)$ ограничен, $1 < q \leq p <\infty$. Здесь $\psi^*(f) =f\circ\psi$ для $f\in L^1_p(D';\omega)\cap \mathrm{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')$.} Заметим, что гомеоморфизмы класса $\mathcal Q_{n,n;1}$ суть квазиконформные отображения; гомеоморфизмы класса $\mathcal Q_{q,p;1}$ совпадают с классами отображений работы Водопьянова С.\,K. и Ухлова~А.\,Д. [2], а гомеоморфизмы класса $\mathcal Q_{n,n;\omega}$~--- с классами отображений монографии [3]. Гомеоморфизмы класса $\mathcal Q_{q,p;\omega}$ при $\theta\equiv1$ и $n-1\leq q<p=n$ можно рассматривать как семейства допустимых деформаций в задачах нелинейной теории упругости [4]. Для гомеоморфизмов класса $\mathcal Q_{q,p;\omega}$ установлены новые результаты, не имеющие аналогов в классической теории, например, независимость класса отображений от применения модульного или емкостного определений [5], а также совпадение всех функций множества, возникающих либо при функциональном определении, либо алгебраическом или геометрическом определениях [6]. [1] Водопьянов С.\,К. О регулярности отображений, обратных к соболевским, и теория $\mathcal Q_{q,p}$-гомеоморфизмов, \textit{ Сиб. мат. журн.}, {\bf 61}, nr. 6, 1257--1299 (2020). [2] Водопьянов С.\,К., Ухлов А.\,Д. Классы Соболева и $(P,Q)$-квазиконформные отображения, {\it Сиб. мат. журн.}, {\bf 39}, nr. 4, 776--795 (1998). [3] Martio O., Ryazanov V., Srebro U., and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory --- New York: Springer, 2008. [4] Molchanova~A., Vodopyanov~S. Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity, {\it Calc. Var.}, {\bf 59}, nr. 17 (2020). [5] Водопьянов С.\,К. Об эквивалентности двух подходов к задачам квазиконформного анализа, {\it Сиб. мат. журн.}, {\bf 62}, nr. 6, 1252--1270 (2021). [6] Водопьянов С.\,К. О совпадении функций множества в квазиконформном анализе, {\it Математический сборник}, {\bf 213}, nr. 9, 3--33 (2022).

Аксиомы рациональности фон Неймана--Моргенштерна и неравенства в анализе

• Н.Н. Осипов

Меняющееся благосостояние агента, делающего ставки на результаты бросков честной монеты, является классическим примером случайного процесса с мартингальным свойством. В такой игре не существует стратегии, которая бы давала положительное математическое ожидание прибыли. Однако задача о том, можно ли рационально выбрать стратегию, отличную от бездействия, остается осмысленной и нетривиальной: оказывается, что есть некоторый "зазор" между полным отказом от игры и полностью нерациональным экономическим поведением, при котором нарушаются базовые аксиомы рациональности фон Неймана--Моргенштерна. Решая задачу об описании этого "зазора" и поиске в рамках него оптимальных стратегий, мы придем к функциям Беллмана, которые ранее возникали в решении полностью абстрактных задач о поиске точных констант в неравенствах из анализа. Тем самым мы получим естественную экономическую интерпретацию для этих неравенств и связанных с ними функций Беллмана.

О приближениях наипростейшими дробями, полюсы которых лежат на единичной окружности

• М.А. Комаров

Наипростейшими дробями (НД) порядка $n$ по предложению Е.П.~Долженко принято называть рациональные функции, представляющиеся в виде логарифмических производных алгебраических полиномов степени $n$. Начиная с 60-х годов в научной школе Я.~Кореваара исследовались аппроксимации такими дробями, все полюсы которых $z_k$ располагаются на том или ином предписанном множестве в $\mathbb{C}$. Так, из результатов Кореваара следует, что любую аналитическую в единичном круге $D=\{z:|z|<1\}$ функцию $f$ на любом компакте $K\subset D$ можно сколь угодно точно равномерно приблизить наипростейшими дробями с полюсами, лежащими на единичной окружности: $ (1) g_n(z)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z-z_{k}}, \qquad |z_1|=\dots=|z_n|=1, \quad |z|<1; \quad n=1,2,\dots. $ В интегральных пространствах такие аппроксимации стали изучаться по инициативе Ч.~Чуи, который в 1971 году сформулировал задачу о существовании абсолютной константы $C>0$ такой, что для любой НД вида (1) интеграл по площади круга (интерпретируемый как средняя напряжённость гравитационного поля, создаваемого внутри круга $n$ точечными массами, расположенными в точках $z_k$) допускает оценку $\iint_{|z|<1} |g_n(z)|\,dxdy>C>0$ $(z=x+iy)$. Решение задачи Чуи с константой $C=\pi/18$ было получено Д.~Ньюманом (1972). Отсюда и из результатов Чуи (1973) вытекает критерий плотности дробей вида $(\ref{spf_N})$ в классических весовых пространствах Бергмана $\mathbf{A}_\alpha^1$: {\it дроби $g_n$ плотны в $\mathbf{A}_\alpha^1$, если и только если $\alpha>0$}. Приближения наипростейшими дробями с полюсами на окружности рассматриваются и в интегральных пространствах на диаметрах круга. Внимание на такие приближения впервые обратил С.Р. Насыров (2014), сформулировавший вопрос о том, плотны ли дроби $g_n$ в пространстве $L_2[-1,1]$ (отрицательное решение этой задачи получено автором в 2019 году). В докладе обсуждаются недавние результаты, связанные с задачами Чуи и Насырова и их обобщениями.

Факторизация многочленов и аналитических функций с оценками

• А.Д. Баранов

Approximation of a given function by exponential functions with a low frequency set density

• А.С. Кузнецов

Entropy function in the theory of orthogonal polynomials, 2

• Roman Bessonov

L. Euler School in Analysis lecture

Entropy function in the theory of orthogonal polynomials, 3

• Roman Bessonov

L. Euler School in Analysis lecture

Open problem session 16.00-16.15 М.А. Прокофьев: Линейные операторы на многочленах и инвариантные множества нулей За $\pi(K)$ обозначим множество всех многочленов от одной переменной с комплексными коэффициентами, чьи корни лежат в подмножестве комплексной плоскости $K$. Будем говорить, что оператор $T: \mathbf{C}[x]\rightarrow \mathbf{C}(x)$ сохраняет $\pi(K)$ , если из $p(z)\pi(K)$ следует $T p(z)\pi(K)$Tp(z). В докладе рассматриваются следующие два вопроса: как описать линейные операторы, сохраняющие $\pi(K)$ для некоторого множества $K$, и наоборот, как описать все $K$, при которых фиксированный оператор $T$ сохраняет $\pi(K)$? -------------------------------------------------------------- 16.20-16.35 М.А. Боровиков: О некоторых задачах геометрической теории гармонических функций Классическим результатом геометрической теории функций является теорема Кёбе об $\frac{1}{4}$, которая утверждает, что для любой однолистной голоморфной в единичном круге функции с нормировкой $f(0)=0,f'(0)=1$ образ круга $B(0,1)$ содержит круг радиуса $\frac{1}{4}$(назовём такой радиус радиусом Кёбе). Кроме того, в 1979 году де Бранжем была доказана точная оценка на тейлоровские коэффиценты таких функций. Но если рассмотреть более широкий класс отображений, а именно класс однолистных гармонических в единичном круге функций с нормировкой $f(0)=f_{\overline z}(0)=0,f_{z}(0)=1$, то для этого класса точная величина радиуса Кёбе и точные оценки на тейлоровские коэффициенты неизвестны. В докладе планируется обсудить известные гипотезы и результаты, связанные с поставленными задачами. -------------------------------------------------------------- 16.40-16.55 П.В. Губкин: Целые функции с заданными нулями, ограниченные в полуплоскостях -------------------------------------------------------------- 17.00-17.15 И.А. Бочков: Кристаллические меры и квазикристаллы Фурье -------------------------------------------------------------- 17.20-17.35 А.Ф. Посадский: Вероятностная мера на конформных отображениях -------------------------------------------------------------- 17.40-17.55 Н.П. Добронравов: Меры Хаусдорфа-Лоренца -------------------------------------------------------------- 18.00-18.15 Е.П. Добронравов: Гладкость минимальных локально вогнутых функций -------------------------------------------------------------- 18.20-18.35 Р.Ш. Хасянов: Оценки сумм коэффициентов подчинëнных функций На докладе я расскажу про задачу о сравнении сумм квадратов коэффициентов подчиненных функций, а также о связи этой проблемы с неравенствами Бора. -------------------------------------------------------------- 18.40-18.55 Н.С. Борисов: Некоторые свойства гармонических отображений круга на квадратурные области. Рассмотрим задачу: пусть имеется однолистное гармоническое отображение единичного круга в комплексной плоскости с полиномиальной антиголоморфной частью. Верно ли, что образ круга при таком отображении является квадратурной областью если, и только если отображение — рациональная однолистная функция? Для продвижения в этом вопросе рассмотрим более частный случай этой задачи. -------------------------------------------------------------- 19.00-19.15 А.И. Буфетов --------------------------------------------------------------

Приближение тригонометрическими многочленами и целыми функциями конечной степени в банаховых идеальных пространствах

• О.Л. Виноградов

$L^p$ norm of truncated Riesz transform and an improved dimension-free $L^p$ estimate for maximal Riesz transform

• Петар Мелентијевић

О некоторых свойствах струны Стилтьеса третьего порядка

• В.Г. Лысов

Целые функции типа синуса для выпуклых бесконечноугольников

• К.П. Исаев

Revisiting a theorem by Katkova and Vishnyakova on total positivity

• А.В. Дьяченко

Аппроксимации Эрмита-Паде и построение трехлистной поверхности Наттолла

• А.В. Комлов

О методах построения функции Грина для сильно эллиптических систем в областях на плоскости

• Астамур Багапш

О локализации свободных нулей одной проблемы обращения Якоби

• Elijah Lopatin

Однопараметрические семейства однолистных и многолистных отображений и их применение

• С.Р. Насыров

О сложности аналитических функций двух переменных

• В.К. Белошапка

Мультипликативный хаос

• Alexandre Bufetov

The Birman problem for symmetric Schrödinger operators with compact inverse

• Mark Malamud