Фёдор Петров, Компактность как ограниченность энтропий

Friday 10 Nov 2023, 15:25 → 18:45 Europe/Moscow

105+zoom (МКН)

Для изучения разных метрик на одном пространстве с мерой (обычно делают наоборот, но мы хотим так и на то есть причины) в работе А. М. Вершика, П. Б. Затицкого и докладчика была введена такая норма на пространстве функций двух переменных:

$\|f(x, y)\|=\inf\limits_{|f|\leq \rho} \int \rho(x, y)$, где $\rho$ -- метрика.

В соответствующей теории меня больше всего удивил такой критерий компактности, имеющий приложения в эргодической теории:
выпуклое равномерно интегрируемое множество $A$ метрик предкомпактно относительно введённой нормы тогда и только тогда, когда для всякого $\varepsilon>0$ все $\varepsilon$-энтропии метрик из $A$ равномерно ограничены.

Это я и хочу обсудить.