Школа по анализу «Функциональные пространства и действующие на них операторы»

Ю.С. Белов, СПбГУ (период проведения лекций с 05.11. по 08.11, 4 лекции)

Гильбертовы пространства аналитических функций.

Мы собираемся рассмотреть один из популярных объектов в комплексном анализе - гильбертовы пространства аналитических функций. Обычно в таких пространствах функционал значения в точке непрерывен, т.е. существует выделенная семейство векторов - воспроизводящие ядра. При помощи общей теории таких пространств можно решить некоторые сложные задачи гармонического анализа и теории функций. Мы сосредоточимся на нескольких таких задачах - описание фреймов Даффина-Шафера (К. Сейп, И. Ортега-Серда 2002г.), задача о лакуне в спектре (М. Митковский, А. Полторацкий 2010 г.), описание подпространств C^\infty инвариантных относительно дифференцирования (А. Алеман, А. Баранов, Ю. Белов 2015 г.). Для понимания курса требуется знание основ комплексного анализа одной переменной.

Лекции: Вторник, 5 ноября (17.15); Четверг, 7 ноября (двойная, 17.15); Пятница, 8 ноября (17.15)

Vladimir Kozlov, Linkoping University (период проведения лекций с 29.10. по 02.11, 5 лекций)

Nonlinear Water Waves.

During last 30 years Nonlinear Water Wave Theory is experiencing rapid development due to series of new results in functional analysis, theory of dynamical systems and partial differential equations, important for the water wave theory. This course is aimed to introduce this field and discuss the latest developments. Proofs of certain results will be given or explained. Open problems will be presented. The following topics will be included:

Mathematical model. Invariants.

Uniform stream solutions. Subcritical and supercritical flows. The bounds for the Bernoulli constant and for the free surface profile.

Dispersion equation and its properties.  Crandall and Rabinowitz Theorem.

Stokes waves. From a small amplitude wave to an extreme wave.

Solitary waves. The Benjamin and Lighthill conjecture and the Ovsyannikov conjecture.

Лекции: Вторник, 29 октября (17.15); Среда, 30 октября (17.15); Четверг, 31 октября (17.15); Пятница, 1 ноября (17.15); Суббота, 2 ноября (17.15)

П.А. Мозоляко, СПбГУ (период проведения лекций с 02.11. по 16.11, 4 лекции)

Размерность носителя гармонической меры в трехмерном пространстве.

Мы будем разбирать одну довольно конкретную задачу об оценке хаусдорфовой размерности носителя гармонической меры в областях (обычно с самоподобной границей) в трехмерном пространстве. Известнейшая серия результатов, принадлежащих Макарову, Джонсу и Вольффу, обеспечивает правильную оценку такой размерности (dim<=1) на комплексной плоскости, как для односвязных, так и для многосвязных областей. Ситуация в R^3, как показывают контрпримеры Кауфмана и Ву, уже должна выглядеть иначе. В начале 90х годов было опубликовано две замечательных работы, в которых было получено самое значительное (вообще говоря, и последнее) на данный момент продвижение в этом вопросе. Бургейн показал, что размерность носителя гармонической меры всегда должна быть меньше 3-\varepsilon для некоторого положительного \varepsilon. С другой стороны, Вольфф построил пример множества с самоподобной границей, для которого носитель гармонической меры имеет размерность 2+\delta для некоторого \delta>0. Точное значение критической размерности до сих пор неизвестно.

Лекции: Суббота, 2 ноября (13.00); Пятница, 8 ноября (17.15); Суббота, 9 ноября (13.00); Суббота, 16 ноября (13.00)

И.А. Лопатин  (период проведения лекций с 06.11. по 12.12, 12 лекций)

Римановы поверхности.

Римановы поверхности — один из уже ставших классическими объектов в математике. Они возникают в различных разделах алгебраической геометрии, теории Галуа, теории чисел и математической физики. Вместе с тем, традиционный (со времён Абеля, Римана, Кёбе и Пуанкаре) аналитический подход к построению анализа на римановых поверхностях в настоящее время значительно менее распространён, уступив место алгебраическим построениям в духе Мамфорда. В настоящем курсе предлагается современное введение в анализ на римановых поверхностях; курс предполагает использование исключительно аналитических техник, с помощью которых все значимые результаты удаётся получить не менее элегантно, а зачастую и более конструктивно, чем это делают алгебраисты.

Определение римановой поверхности. Классические примеры. Гармонические и субгармонические функции на римановых поверхностях. Конформные метрики. Изотермические координаты. Уравнение Лапласа-Бельтрами. Комплексные структуры на римановой поверхности. $\overline{\partial}$-задача. Теорема Вейерштрасса, мероморфные функции как фактор. Гармонические формы, разложение Ходжа, изоморфизм Дольбо-Серра. Комплексные дифференциальные формы на римановой поверхности, леммы Пуанкаре и Дольбо. Задача Дирихле на римановой поверхности, метод Перрона, задача Миттаг-Леффлера, проблема аппроксимации на римановых поверхностях. Автоморфизмы комплексной плоскости, проективной прямой и единичного диска. Теорема об униформизации римановых поверхностей. Вложения римановых поверхностей. Теорема Кодаиры. Теорема Нарасимхана. Теорема Римана-Роха. Функции на римановой поверхности. Условие разрешимости дивизоров. Билинейные соотношения Римана. Теорема Абеля. Проблема обращения Якоби. Основы теории потенциала на римановых поверхностях. Обобщённое уравнение Лапласа. Биполярные функции Грина. Аналоги логарифмического ядра на римановой поверхности. Теория Галуа и римановы поверхности. Теорема о монодромии. Теорема Абеля-Руффини.

Лекции: 15 лекций, начиная с 6 ноября, Понедельник (17.10-18.45), Среда (15.25-17.00), Четверг (13.40-15.00)

Записи лекций находятся здесь.

Мероприятие проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России, грант на создание и развитие МЦМУ "Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера" соглашения № 075-15-2022-287.