Ильнур Байбулов. Алгебра рационального (иррационального) вращения и спектр периодического (почти-периодического) оператора

Monday 21 Oct 2024, 19:00 → 21:00 Europe/Moscow

105 + Zoom (14 линия В.О., 29)

Универсальная C*-алгебра, порожденная двумя унитарными элементами U и V, связанными коммутационным соотношением UV=exp(iπθ)VU, называется алгеброй (рационального или иррационального) вращения (на рациональный или иррациональный, соотвественно, угол θ). При иррациональных значениях θ эта алгебра также называется некоммутативным тором.

В физических задачах рассматривают оператор Шредингера, описывающий электрон в двумерной кристаллической решетке под действием ортогонально направленного магнитного поля. Изучение этого оператора в так называемом приближении сильно связанных электронов приводит к оператору (a) (см. вложение с формулами ниже), который называют дискретным магнитным лапласианом. Оказывается, что при иррациональных значениях θ спектр дискретного магнитного лапласиана (как подмножество прямой) совпадает со спектром оператора почти-Матье (b) (где β произвольно). Оператор почти-Матье имеет вид дискретного оператора Шредингера с периодическим (почти-периодическим) потенциалом при рациональных (иррациональных) θ и является классическим примером эргодического оператора.

Равенство спектров упомянутых операторов (a) и (b) становится очевидным, если заметить, что оба оператора являются образами одного и того же элемента (U+U*) + λ(V+V*) алгебры вращения под действием некоторых ее представлений, причем при иррациональных значениях θ эти представления точные (то есть, изоморфизмы на образ). Гораздо менее очевидным является утверждение, что при иррациональных θ и произвольных значениях прочих параметров спектр оператора почти Матье — канторово множество. Задача доказательства этого утверждения, окончательно решенная в 2005 году Житомирской и Авилой, носит название Ten Martini Problem в честь обещанных в 1981 году за нее 10 бокалов мартини.

Я буду рассказывать о статье Gauss polynomials and the rotation algebra (Man-Duen Choi, George A. Elliott, Noriko Yui, 1990), в которой при помощи сравнительно простых C*-алгебраических методов доказывается усиленный вариант утверждения о канторовой структуре спектра (Dry Ten Martini Problem) для элемента алгебры вращения вида (U+U*) + (V+V*) (а значит и для операторов (a) и (b) при λ=1) при достаточно хорошо аппроксимируемых рациональными числами значениях θ. Сперва мы подробно рассмотрим определение алгебры вращения и ее основные свойства, после чего опишем спектр элемента (U+U*) + (V+V*) при рациональных значениях θ (что соответствует периодическому случаю) и докажем теорему о нумерации лакун в его спектре. Затем, скорее всего, у нас закончится время и завершение доказательства мы оставим на следующий раз.