Mini-workshop on Algebraic Geometry

20 May 2021, 10:00 → 22 May 2021, 18:00 Europe/Moscow

Leonhard Euler International Mathematical Institute in St. Petersburg

Mini-workshop on Algebraic Geometry

May 20 - 22, 2021

This workshop is devoted to applications of algebraic geometry in different parts of mathematics. The topics of talks of participants include non-commutative and birational geometry, Hitchin type integrable systems, quantum information, Poisson structures on Fano varieties, singularity theory. The main idea of workshop is to give students (from MIPT and SPb) a possibility to present their work and discuss it altogether.

The talks will be in Russian.

---

Speakers

Alexey Ananyevskiy • PDMI RAS Alexey Bondal • MI RAS and MIPT Denis Degtyarov • MIPT Stanislav Grishin • MIPT Sergey Guminov • HSE Grigory Konovalov • MIPT and Skoltech Andrei Lavrenov • SPbU Konstantin Loginov • MI RAS

Nikita Monchenko • MIPT Dmitriy Rachenkov • MIPT Ignat Sokolov • SPbU Aleksandra Sonina • SPbU Dmitriy Stepanov • MIPT Ilya Zhdanovskiy • MIPT Alexander Zheglov • MSU Egor Zolotarev • SPbU

---

Organizing Committee

• Nikita Kalinin • SPbU
• Ilya Karzhemanov • MIPT

---

Institutions participating in the organization of the event

• St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences
• Leonhard Euler International Mathematical Institute in St. Petersburg
• Laboratory of AGHA at Moscow Institute of Physics and Technology

The mini-workshop is financially supported by a grant from the Government of the Russian Federation, agreements 075-15-2019-1619 and 075-15-2019-1620 and by a grant from Simons Foundation.

Thursday, 20 May

10:00 → 11:00 Введение в мотивную теорию гомотопий I

Мотивная теория гомотопий (также известная как теория $\mathbb{A}^1$-гомотопий) – это теория гомотопий гладких алгебраических многообразий, где роль интервала [0,1] играет аффинная прямая $\mathbb{A}^1$. Основания этой теории были заложены Владимиром Воеводским и Фабьеном Морелем около 20 лет назад, и с тех пор это область математики активно развивается и уже нашла важные приложения в алгебраической геометрии и классической теории гомотопий. В своём докладе я расскажу о том, с какими объектами работает мотивная теория гомотопий, упомяну некоторые вычисления – в частности, вычисления некоторых мотивных гомотопических групп сфер, – и расскажу, как Аравинд Ашок и Жан Фазель применяют мотивную теорию гомотопий для классификации алгебраических векторных расслоений на гладких аффинных многообразиях.

Speaker: Алексей Ананьевский (ПОМИ РАН)

11:15 → 12:15 Введение в мотивную теорию гомотопий II

Мотивная теория гомотопий (также известная как теория $\mathbb{A}^1$-гомотопий) – это теория гомотопий гладких алгебраических многообразий, где роль интервала [0,1] играет аффинная прямая $\mathbb{A}^1$. Основания этой теории были заложены Владимиром Воеводским и Фабьеном Морелем около 20 лет назад, и с тех пор это область математики активно развивается и уже нашла важные приложения в алгебраической геометрии и классической теории гомотопий. В своём докладе я расскажу о том, с какими объектами работает мотивная теория гомотопий, упомяну некоторые вычисления – в частности, вычисления некоторых мотивных гомотопических групп сфер, – и расскажу, как Аравинд Ашок и Жан Фазель применяют мотивную теорию гомотопий для классификации алгебраических векторных расслоений на гладких аффинных многообразиях.

Speaker: Алексей Ананьевский (ПОМИ РАН)

12:30 → 14:00 Обед

14:15 → 15:15 p-подгруппы в группе Кремоны

Группа Кремоны – это группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства. Для проективной прямой она совпадает с группой проективных автоморфизмов, а уже начиная с размерности 2 эта группа становится достаточно сложным объектом для изучения (например, она бесконечномерна). Методы современной бирациональной геометрии позволяют исследовать ее на уровне конечных подгрупп. Я расскажу о том, как можно изучать конечные p-подгруппы в трехмерной группе Кремоны.

Speaker: Константин Логинов (MИ РАН и МФТИ)

15:30 → 16:10 Весовые структуры и мотивные группы Пикара

Планируется рассказать о способах "определять веса" объектов триангулированных категориий с весовой структурой. В качестве приложения - понять что-то про (кручение) групп Пикара мотивных категорий. По совместной работе с М. Бондарко.

Speaker: Игнат Соколов (СПбГУ)

16:20 → 17:10 Динамика дискретных уравнений Пенлеве на производных категориях представлений колчанов

При помощи мутаций колчанов с потенциалами я построю автоэквивалентности производных категорий представлений этих колчанов. Данные функторы отвечают динамике дискретных уравнений Пенлеве. Эта конструкция может быть интересна как пример категорного подхода к интегрируемым системам.

Speaker: Дмитрий Раченков

Friday, 21 May

10:00 → 11:00 Алгебро-геометрические свойства квантовых интегрируемых систем

Под квантовыми интегрируемыми системами я буду понимать достаточно широкий класс колец коммутирующих операторов (дифференциальных, разностных, дифференциально-разностных). Такие кольца удобно рассматривать как подкольца в некотором "универсуме" — чисто алгебраическом аналоге кольца псевдодифференциальных операторов на многообразии. Если ограничиться рассмотрением разумного класса колец (мы их называем квази-эллиптическими), то они допускают классификацию в терминах алгебро-геометрических спектральных данных. Эта классификация является естественным обобщением хорошо известной классификации колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных или разностных операторов. Уже в размерности 2 появляются значительные ограничения на геометрию спектральных данных, где особую роль играет пространство модулей пучков без кручения с фиксированным полиномом Гильберта. Я расскажу о недавних результатах в этом направлении, в частности, о полученных явных примерах спектральных данных и деформаций известных колец коммутирующих операторов.
Доклад основан на совместных работах с И. Бурбаном, В.С. Куликовым, Х. Курке и Д. Осиповым.

Speaker: Александр Жеглов (МГУ)

11:15 → 12:15 Особенности сплайсового типа и тропическая геометрия

Особенности сплайсового типа - это особенности алгебраических поверхностей, заданных уравнениями специального вида, обобщающего особенности типа Брискорна. Они были определены Вальтером Нойманом и Джонатаном Уалом около 2005 года и интересны как семейство особенностей, чьим линком (т. е. пересечением особенности со сферой малого радиуса) является целая гомологическая сфера. Нойман и Уал также сформулировали гипотезу, явно описывающую топологическое устройство слоя Милнора таких особенностей. Доказательство того факта, что особенности, заданные уравнениями сплайсового типа действительно задают особенности с требуемыми хорошими свойствами, основано на довольно громоздком индуктивном вычислении последовательности раздутий, разрешающих особенность. В совместной работе с Патриком Попеску-Пампу и Анжеликой Куэто мы, используя теорию локальной тропикализации, получили новое, существенно более простое доказательство результата Ноймана и Уала и наметили подход к доказательству их гипотезы о слое Милнора.

Speaker: Дмитрий Степанов (МФТИ)

12:30 → 14:00 Обед

14:15 → 15:15 Категория рефлексивных пучков на поверхностях.

Мы обсудим каноническую точную структуру на категории рефлективных пучков на нормальных поверхностях и обсудим как вопрос восстановления из этой категории самой поверхности связан с бирациональной геометрией. Совместная работа с А. Бодзентой.

Speaker: Алексей Бондал (МИ РАН и МФТИ)

15:30 → 16:15 Само-ассоциированные конфигурации точек и коммутаторы

Я расскажу о геометрических свойствах коммутаторов проекторов. Доклад — по совместной работе с А.Кочеровой.

Speaker: Илья Ждановский (МФТИ)

16:30 → 17:30 Локальные формулы Плюккера для ортогональных групп

Локальные формулы Плюккера описывают линейные соотношения между формами метрик на голоморфной кривой, индуцированными плюккеровыми вложениями, и соответствующими формами кривизн. Гивенталь заметил, что вектор форм кривизн выражается через вектор форм метрик с помощью матрицы Картана серии A и обобщил это наблюдение на случай произвольной матрицы Картана. Я расскажу, как получаются локальные формулы Плюккера для специальных ортогональных групп, т.е. для матриц Картана серии B и D, редукцией к классическому случаю.

Speaker: Денис Дегтярёв (МФТИ)

17:30 → 18:15 Конечные подгруппы в двумерной группе Кремона

Сначала будут сказаны некоторые общие слова о двумерной группе Кремона (примеры преобразований, образующие и соотношения). Далее последует классификация минимальных моделей конечных подгрупп двумерной группы Кремона. Наконец, будет сформулирован вопрос о сопряженности двух таких подгрупп и приведены некоторые результаты, связанные с ним.

Speaker: Станислав Гришин (МФТИ)

Saturday, 22 May

10:00 → 10:50 Многообразия Горески-Коттвица-Макферсона и кольцо Чжоу симметрического пространства Е6/F4

В своём докладе я планирую рассказать свою дипломную работу, в которой мы применяем GKM - метод для вычислению колец Чжоу симметрического многообразия $E_6/F_4$. Эта задача будет сводится к вычислению образа пушфорварда эквивариантного морфизма двух гладких многообразий. По теореме Горески-Коттвица-Макферсона эта задача сведется к чисто комбинаторной о расстановке многочленов на GKM-графе с условиями делимости, которая и решается в дипломной работе.

Speaker: Александра Сонина (СПбГУ)

11:00 → 11:30 Классы эквивалентностей гомотопов

Гомотоп ассоциативной k-алгебры - новая k-алгебра на том же пространстве, получаемая "внутренней" модификацией операции умножения. В докладе я расскажу о том, как эта конструкция появляется в контексте DG-склеек и квантовых протоколах передачи информации, а также что и при каких условиях можно сказать о числе классов различных эквивалентностей гомотопов.

Speaker: Сергей Гуминов (ВШЭ)

11:40 → 12:40 K(n)-мотивы проективных квадрик

Категория (чистых) мотивов Чжоу, определённая Гротендиком, имеет множество различных приложений к теории квадратичных форм, и, более общо, однородных проективных многообразий, однако в этой теории ещё много открытых вопросов. С другой стороны, если в определении мотивов заменить Чжоу на К-теорию, получится значительно более простая категория, например, $K^0$-мотив проективной квадрики зависит только от дискриминанта и алгебры Клиффорда соответствующей квадратичной формы. Изучая категории мотивов, построенных при помощи произвольных ориентированных теорий когомологий, мы надеемся получить более простые инварианты, чем мотивы Чжоу, которые однако помнят больше информации, чем $K^0$-мотивы.
В докладе будут рассмотрены категории мотивов, построенные по К-теориям Моравы K(n), и описаны мотивные разложения общих квадрик. Доклад основан на совместных результатах докладчика с Никитой Семёновым, Виктором Петровым и Павлом Сечиным.

Speaker: Андрей Лавренов (СПбГУ)

12:50 → 14:20 Обед

14:30 → 15:20 Гипотеза Карпенко для спинорных групп

Гипотеза Карпенко описывает структуру кольца Чжоу наиболее общего скрученного многообразия полных флагов отвечающего данной полупростой алгебраической группе. Данная гипотеза была проверена для многих простых групп, однако в 2018 году Нобуаки Ягита опубликовал препринт, в котором предъявил контрпример — спинорную группу ранга 17. В докладе я расскажу что известно на данный момент, а так же сформулирую ожидаемые результаты связанные с другой ориентированной теорией когомологий - алгебраическими кобордизмами.

Speaker: Егор Золотарёв (СПбГУ)

15:30 → 16:20 Операдный подход к Пуассоновым вырождениям

Расскажу про операдный подход к вырождениям Пуассоновых скобок на алгебраических многообразиях.

Speaker: Григорий Коновалов (МФТИ и Сколтех)

16:30 → 17:00 Максимальность точной структуры тонкой категории для направленной алгебры

В работе А.И. Бондала и А. Бодзенты было показано, что категория старшего веса является (правой/левой) абелевой оболочкой подходящей тонкой точной категории. Выбор точной структуры на категории, вообще говоря, не единственен. Известно, что всегда существует максимальная точная структура, содержащая все остальные. Возникает вопрос, является ли тонкая точная структура максимальной. В докладе рассматривается частный случай, связанный с точными подкатегориями категорийи представлений направленного двухвершинного колчана (обобщенного колчана Кронекера).

Speaker: Никита Монченко (МФТИ)