Лекция 13

Friday 26 Nov 2021, 13:40 → 15:10 Europe/Moscow

Мы познакомимся с понятием фильтра (булевой алгебры), а также двойственным ему понятием идеала. Для каждой булевой алгебры будут определены естественные биекции между: а) множеством всех конгруэнций на этой алгебре; б) множеством всех её фильтров; в) множеством всех её идеалов. Более того, соответствующие множества с порядками по включению окажутся полными решётками; при этом вышеупомянутые биекции превратятся в изоморфизмы. Далее, мы обсудим явное и неявное определения фильтра (идеала), порождённого данным множеством. Наконец, мы познакомимся с понятием ультрафильтра и докажем, что для любого нетривиального фильтра F следующие условия эквивалентны: 1) F является ультрафильтром; 2) F максимален по включению среди нетривиальных фильтров; 3) F обладает «дизъюнктивным свойством», т.е. является «простым».