А. Целищев, "Замощения сдвигами функций"

А. Целищев

Замощения сдвигами функций

На этом курсе мы обсудим одну задачу, связанную с замощениями. Обычно под замощением, например, плоскости, подразумевается множество сдвигов некоторой области, такое, что (почти) каждая точка покрыта ровно одним из этих сдвигов. Вокруг такой, на первый взгляд нехитрой, конструкции, возникает много интересных и содержательных вопросов: гипотеза Фугледе, гипотеза о периодичности замощений, аналоги для конечных групп...

На нашем курсе мы обсудим один менее популярный аналог. Будем говорить, что функция из L^1 замощает вещественную прямую по уровню w сдвигами на множество $\Lambda$, если $\sum_{\lambda\in\Lambda} f(x-\lambda) = w$ п.в., а ряд сходится абсолютно почти всюду. Что в таком случае можно сказать про эту функцию и про множество $\Lambda$? Существуют ли вообще примеры замощений с нетривиальными множествами $\Lambda$ (отличными от объединения арифметических прогрессий)?

Настоящий курс преследует две, более-менее равнозначные, цели. С одной стороны, замощения сдвигами фукнций, описанные выше, изучались не настолько интенсивно, как классические задачи о замощении сдвигами области -- в связи с этим, в этой теме остаются содержательные задачи, которые можно будет порешать. С другой стороны, курс предполагается учебным: имеющиеся результаты часто используют важные интересные теоремы из гармонического анализа, как классические, так и современные (теорема Винера, результат Мальявена об отсутствии спектрального синтеза, новые конструкции кристаллических мер). На курсе мы обсудим некоторые из этих теорем.

Предполагается, что мы будем более-менее следовать недавнему обзору https://arxiv.org/abs/2009.09410. Для понимания курса необходимо некоторое знакомство с гармоническим анализом, в частности, хотя бы самое общее представление об обобщённых функциях медленного роста (известных также как "умеренные распределения") и их преобразовании Фурье.

Приглашаются все желающие!