И.А. Панин, "Теория схем Гротендика"

И.А. Панин

Теория схем Гротендика

Цель курса - познакомить слушателей с красивейшей теорией, теорией схем Гротендика, теорией, преобразившей алгебраическую геометрию.

Пред схема, подобно всём геометрическими объектам с дополнительной структурой - это топологическое пространство Х, снабжённое пучком колец O. Их характерное свойство - наличие такого открытого покрытия {U_i} , что {U_i, O ограниченный на U_i} - это одна из стандартных предсхем вида Spec A, где А - коммуникативное кольцо с единицей.

Категория аффинных схем (схем типа Spec A) эквивалентна категории коммутативных колец с единицей (с обращёнными стрелками).

В категории предсхем всегда есть расслоенные произведения, причём расслоенное произведение Spec A и Spec B над
Spec C это Spec (A tensor B), tensor над С.

Наличие расслоенного произведения позволяет делать такие операции, как расширить скаляры от поля k до поля К,
определить понятие схемного слоя морфизма f: X --> Y над точкой y из Y, определить понятие групповой пред схемы Х над S.
В частности, для S =Spec (Bbb Z)
ввести классические групповые схемы над Вb Z:
GL_n, SL_n, PGL_n, O_n, SO_n, Sp_2n

Определить проективное пространство P^n над S
и описать всё морфизмы (над S)
из S- пред схемы X в P^n_S.

Проективное пространство над S
это схема типа Proj (R), где R - градуированное коммутативное кольцо. Частными случаями этой конструкции являются Грассманианы (над S), раздутия схемы вдоль замкнутой под схемы и ... .

Содержательная теория схем невозможна без обсуждения когерентных пучков и их когомологий.

Курс будет следовать 3-м книгам:
[1] Д. Мамфорд. Лекции о кривых на алгебраической поверхности
(лекции 3--11)
[2] Ю. И. Манин. Введение в теорию схем и квантовые группы.
[3] Р. Хартсторн. Алгебраическая геометрия