Б.Б. Шойхет (ПОМИ) "Этальные когомологии (продолжение). Курс осеннего семестра 2026"
Мероприятие проводится при поддержке Минобрнауки России, в рамках реализации Программы развития МЦМУ «Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера».
Лекции будут проходить по субботам в ПОМИ в аудитории 311. Время уточняется . Коммуникация
будет происходить через тг канал. Большая просьба регистрироваться..
Мы продолжим изучение этальных когомологий, начатое в прошлом семестре.
В прошлом семестре мы обсуждали в основном общие вещи, относящиеся к топологиям Гротендика: когомологи пучков в топологии, спуск для плоской топологии, когомологии Чеха, спектральная последовательность Лере, эквивалентность топологий.
В этом семестре мы займемся собственно этальной топологией.
После напоминания основных свойств этальных морфизмов и их примеров, мы определим этальную фундаментальную группу. Мы покажем независимость этальной фундаментальной группы от выбора базовой геометрической точки, необходимой для ее определения, где геометрическая точка может быть связана как с замкнутой точкой многообразия, так и например с его общей точкой. В случае мноогобразия $X$ над $\mathbb{Q}$, этальная фундаментальная группа соответствующего многообразия $\bar{X}$ над $\bar{\mathbb{Q}}$ оказывается изоморфной проконечному пополнению обычной топологической фундаментальной группы комплексного многообразия $X_{\mathbb{C}}$, и при этом возникает короткая точная последовательность
$$ 1\to \pi_1(\bar{X},x)\to\pi_1(X,x)\to\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to 1 $$ из чего следует что каждое многообразие $X$ над $\mathbb{Q}$ задает действие группы Галуа $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ внешними автоморфизмами проконечного пополнения топологической фундаментальной группы. По существу каждый выбор выбор ``рациональной формы" $X$ данного комплексного многообразия $X_\mathbb{C}$ задает такое действие. Два связанных сюжета--теорема Белого и группа Гротендика-Тейхмюллера. Дальше мы вычислим этальные когомологии $spec(k)$ спектра поля (ответ дается непрерыным в смысле проконечной топологии аналогом когомологий групп $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$), и этальные когомологии гладких кривых над алгебраически замкнутым полем. Самым нетривиальным шагом вычисления для кривых является теорема Тцена, для чего нам потребуется группа Брауэра поля и ее когомологическая интерпретация: $\mathrm{Br}(K)=H^2(\mathrm{Gal}(\overline{K}/K), \overline{K}^{\times})$. Наконец мы докажем теорему Артина обещанную в прошлом семестре, утверждающую что для гладкого комплексного многообразия $X$ над $\mathbb{C}$, и для конечного пучка кручения $F$ на $X$, этальные когомологии $H^\udot_{\et}(X,F)$ изоморфны когомологиям $X$ с коэффициентами в $F$ в классической аналитической топологии.
Мы будем использовать следующие книжки и записи лекций:
G.Tamme, Introduction to \'{e}tale cohomology, Springer 1994
M.Artin, Grothendieck topologies, Mimeographed notes 1962
P.Deligne, \'{E}tale cohomology: starting points, expose 1 in SGA 4 1/2 (существует английский перевод)
Ж.-П. Серр, Когомологии Галуа
J.P. Murre, Lectures on An Introduction to Grothendieck’s Theory of the Fundamental Group
H.W.Lenstra, Galois theory for schemes
Ph. Gille, T. Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology
Предполагается знакомство с базовыми понятиями алгебры, алгебраической тополгии, и самыми базовыми понятиями алгебраической геометрии и коммутативной алгебры, а также некоторое знакомство с содержанием курса в прошлом семестре.
Описание весеннего курса 2026
Пусть X гладкое алгебраическое многообразие над C. Как определить когомологии
соответствующего топологического пространства с коэффициентами в постоянном пучке
используя только структуру алгебраического многообразия, то есть не используя аналитическую
топологию? Или как определить когомологии в харакеристике p обладающие тем свойством
что если многообразие допускает подъем в характеристику 0 его когомологии совпадают с
классическими? Эти вопросы возникли в связи с гипотезами Вейля и их когомологической
интерпретацией, и являлись вероятно одной из главных мотиваций развития алгебраической
геометрии Гротендиком и его школой. С наивной точки зрения, проблема в том что
чеховское вычисление когомологий возможно когда у нас в распоряжении имеются сколь
угодно малые открытые множества с тривиальными высшими когомологиями, что не так
для топологии Зарисского. В алгебраической ситуации чеховское вычисление приводит к
нулевому ответу, тк перечение любых двух открытых по Зарисскому множеств непусто.
Геометрический факт, лежащий в основе того что вычислить когомологии используя
только алгебраическую геометрию возможно, таков: на гладком алгебраическом многообразии
над C существуют сколь угодно малые окрестности Зарисского имеющие гомотопический
тип K(π,1) (пространств Эйленберга-Маклейна с нулевыми высшими гомотопическими
группами, первая гомотопическая группа которых некая ненулевая группа, разумеется
зависящая от окрестности). Тогда универсальные накрытия таких открытых окрестностей
стягиваемы, и понятие топологии Гротендика дает некоторый рецепт чеховского вычисления
когомологий, основанного на таких накрытиях, более общих чем просто открытые подмножества.
Эти стягиваемые универсальные накрытия топологически бесконечнолистны, но структура
алгебраического многообразия может быть только на конечных накрытиях. Это приводит
к тому что рассматривается конечнолистная аппроксимация этих накрытий и как следствие
группа коэффициентов должна быть кручением. Эта идея приводит к определению топологий
Гротендика и этальным когомологиям. Курс задуман как введение в предмет.
Мы будем использовать следующие книжки и записи лекций:
G.Tamme, Introduction to ´etale cohomology, Springer 1994
M.Artin, Grothendieck topologies, Mimeographed notes 1962 (это исторически первый и вероятно
самый понятный текст)
P.Deligne, ´ Etale cohomology: starting points, expose 1 in SGA 4 1/2 (существует английский
перевод)
Предполагается знакомство с базовыми понятиями алгебры, алгебраической тополгии,
и самыми базовыми понятиями в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре. В
частности, не предполагается знакомство с понятием этального морфизма и тп.
