И.А. Панин, "Теория накрытий в алгебраической геометрии"

Анонс. Оказывается в алгебраической геометрии имеется полный аналог теории накрытий
(из классической топологии). А именно, если Х связно, то имеется аналог фундаментальной
группы pi_1(X). Ниже пишем pi_et(X). Основной результат гласит.

Теорема 1 (Основная). Связные накрытия Х находятся в биективном соответствии с подгруппами конечного
индекса в группе pi_et(X).

А что же имеется ввиду под накрытием Х? Курс начнется с ответа на этот вопрос для гладких
комплексноых алгебраическоих многообразий (связных = неприводимых). То есть работаем над полем С
и все многообразия гладкие. Для такого Х пишем Х(С) для Х, снабженного комплексной топологией.
Определение 1. Говорят, что X'--> X этален, если X'(C)--> X(C) - локальный гомеоморфизм.
Определение 2. Говорят, что этальный X'--> X конечен, если X'(C)--> X(C) - накрытие.

В этом случае автоматически прообраз любой точки х из Х - нульмерное алгебраическое многообразие.
поэтому это просто несколько точек (конечное число n(x)). И, кроме того, для всех х из Х число
n(x) одно и то же.
Определение 3. Говорят, что морфизм X'--> X - это накрытие Х, если X'--> X этальный и конечный.
Если X' еще и связно, то накрытие называется связным.

Теорема 2 (иллюстрация Основной). Связные накрытия Х находятся в биективном соответствии с подгруппами конечного
индекса в группе pi_1(X(С)).

Эта теорема позволяет дать такое определение группы pi_et(X), упомянутой выше, но не определенной.
Определение 4 (в гладком комплексном случае). Определим pi_et(X) как проконечное пополнение группы pi_1(X).

Интересный Вопрос. Пусть Х - как в Теореме 2. Пусть фи: Y--> X(C) конечное связное накрытие (топологическое).
Найдется ли комплексное связное алгебраическое многообразие X' такое, что X'(С)=Y и отображение фи - это
морфизм алгебраических многообразий. Ответ: ДА!!!
Выведем это из теоремы 2. Накрытие (топологическое) Y/X(C) задает подгруппу конечного индекса Н в pi_1(X(С)).
По теореме 2 подгруппе Н соответствует связное накрытие X'--> X. Легко проверить, что Y=X'(С) и фи - это вточности
X'(С)--> X(С).

Рассматрим теперь многообразия ( гладкие и связные, нульмерные (!!!) ) над произвольным полем k.
Пусть характеристика поля k равна нулю и X=(Spec k, O_Spec k) - соответствующая аффинная схема.
Кратко пишем X=Spec k, подразумевая структурный пучок. В этом случае
а) группа pi_et(X) - это просто группа Галуа Gal(bar k/k);
б) Теорема 1 - это в точности основная теорема теории Галуа (!!!).

Еще пример вопроса (теоремы). Докажите сами.
Пусть X как в теореме 2, причем размерность Х равна 2. Пусть х - точка Х. Пусть Y=X-x и пусть
Y'-->Y связное накрытие Y. Докажите, что имеется накрытие фи:X'-->X такое, что накрытие
X'- прообраз точки х --> X-x это в точности накрытие Y'-->Y.
Т.е. каждое связное накрытие Y продолжается до связного накрытия Х.

Еще пример крайне полезного утверждения. Пусть фи:X'-->X накрытие и s:X--> s(X) - сечение фи.
Тогда X'=s(X) дизьюнктно Х". Т.е. s(X) - компонента связности X' относительно топологии Зариского.

ЦЕЛЬ КУРСА. Следуя А.Гротендику развить теорию этальных морфизмов в категории аффинных схем (аффинные для простоты изложения).
Определить понятия этального пучка абелевых групп, показать, что в категории таких пучков достаточно много иньективных.
Это позволит определить этальные когомологии с коэфициентами в таком пучке. Доказать, что для комплексого алгебраического
многообразия Х и топологического пространства Х(С)
Теорему (М.Артин). H^i_et(X,Z/nZ)=H^i(Х(С),Z/nZ), где справа стоят обычные когомологии топологического пространства Х(С).

Замечание. Курс расчитан на студентов, знакомых с основами алгебраической геометрии.

Литература. Altman A., KLeiman S. Introduction to Grothendieck duality theory. LNM 146, 1970

Из Альтмана и Кляймана будут необходимы ТОЛЬКО главы о классах морфизмов.
Двойственность в данном курсе мы проходить НЕ будем!!!