Денис Терешкин, Семинар "Локально представимые и достижимые категории"

Локально представимые и достижимые категории.

---

Телеграм-группа семинара для объявлений и обсуждений: t.me/LPAC_PDMI.

Желающих участвовать просьба регистрироваться

---

Примерно так же, как в алгебраической топологии нас обычно интересуют "хорошие" пространства — например, топологические многобразия или клеточные комплексы, или же в алгебраической геометрии нам приятнее работать со схемами конечного типа над полем или целыми числами, так же и в "алгебраической теории категорий" можно определить класс хорошо описываемых категорий, которые ведут себя намного лучше произвольных. Тем не менее, этот класс покрывает большое количество встречающихся "в жизни" категорий. Например, категория множеств, категория групп, категория Delta-порождённых топологических пространств, категория Банаховых пространств, 1-категория категорий...

Этот класс — это класс локально представимых категорий. Для них верна, например, "наивная теорема о сопряжённом функторе": любой конепрерывный функтор между представимыми категориями является левым сопряженным. Они всегда имеют строгий функтор в Set. Неожиданным и приятным свойством является то, что любая такая категория является свободным пополнением малой категории относительно некоторого сорта копределов (двойственность Габриеля-Ульмера).

Можно ослабить условия на существование (ко)пределов, оставив требование быть свободным пополнением, и получить понятие достижимой категории, который включает в себя уже почти любую "описуемую" категорию, и замкнут относительно всех lax пределов; например, категории полей, линейных порядков, мономорфизмов в локально представимой, любые Каруби-полные малые категории...

Основные результаты и сюжеты, которые планируется обсудить:
1. Эквивалентность определений представимой категории.
2. Соответствие Габриеля-Ульмера.
3. Алгебраические теории, классы инъективности и лимит-скетчи как обобщения алгебраических теорий.
4. Достижимые категории, общие скетчи. Конкретность достижимых категорий, их (co)-well-poweredness.
5. Теоретико-множественные аспекты, принцип Вопенки, теоремы о наличии/отсутствии полных вложений в представимые категории.
6*. Теоретико-модельная интерпретация, инфинитарная логика как язык достижимых категорий.

Литература
Jiří Adámek, Jiří Rosický. Locally Presentable and Accessible Categories. doi:10.1017/CBO9780511600579
Michael Makkai, Robert Paré. Accessible Categories: The Foundations of Categorical Model Theory doi:10.2307/2275346

Необходимые преререквизиты — свободное обращение с (ко)пределами и сопряжёнными функторами на уровне определений и базовых свойств. Будем рады участию любителей логики и её категорных аспектов, ценителей теории представлений (планируется секция приложений к представлениям конечномерных алгебр), и просто всех заинтересованных в теории категорий студентов и математиков.
Формат проведения — лекции с конструкциями, определениями и формулировками теорем + семинар с разбором доказательств и решением упражнений.

Группа для объявлений и обсуждений: t.me/LPAC_PDMI