В.И. Васюнин, "Введение в теорию функции Беллмана"
В данном курсе предполагается познакомить слушателей с возникшей недавно теорией получения различных оценок в анализе, известной под названием метод функции Беллмана. Этот метод ещё настолько молод, что и теорией его пока можно назвать с большой натяжкой, поскольку никакой аксиоматически построенной теории пока не существует. А существует большой набор успешно решённых задач из совершенно разных областей, но в доказательстве которых прослеживается общий подход. Этот подход заключается в том, что некая вспомогательная функция (которая и называется функцией Беллмана) используется для получения необходимой оценки. То есть вместо одной числовой константы, решающей определённую задачу поиска максимума или минимума интересующего нас выражения, ищется функция нескольких переменных, решающая целый спектр экстремальных задач. На первый взгляд кажется, что задача заменяется ещё более сложной, но оказывается, что благодаря некоторым свойствам этой функции типа выпуклости и экстремальности удаётся получить дифференциальное уравнение, которому эта функция должна удовлетворять. Во многих случаях это уравнение удаётся решить и тем самым найти ответ в исходной задаче.
Идейно данный метод восходит к теории оптимального управления стохастическими процессами, откуда и взято название функции в честь классика этой науки Ричарда Беллмана, работавшего в середине прошлого века.
В первой части данного курса Введение в теорию функции Беллмана предполагается познакомить слушателей с серией задач, решённых этим методом, начиная с самых простых и продвигаясь к более сложным. На семинарских занятиях будут решаться разнообразные вспомогательные задачи, возникающие в лекциях. Во второй части курса Функция Беллмана в анализе предполагается разбор уже существенно более сложных задач, иногда частично не решённых, с выходом на самый передний край, где открывается горизонт неизведанного.
