Н.В. Цилевич, "Теория представлений симметрических групп"
Теория представлений симметрических групп — это классический сюжет, который имеет фундаментальное значение для алгебры, теории представлений, комбинаторики, теоретической физики. Теория, зародившаяся в пионерских трудах Фробениуса, Шура и Юнга, продолжает активно развиваться и обрастать новыми связями в различных областях математики. Основной акцент курса будет направлен на индуктивный подход к построению теории представлений симметрических групп, разработанный в 1990-х гг. А.М.Вершиком и А.Ю.Окуньковым, ключевыми элементами которого являются алгебры Гельфанда-Цетлина и элементы Юнга-Юциса-Мэрфи.
Для изучения данного курса необходимо прохождение курса общей алгебры и, в частности, знакомство с основами теории представлений конечных групп.
Содержание курса
Раздел 1 Индуктивное построение теории представлений симметрических групп.
1. Разбиения, диаграммы Юнга, таблицы Юнга, граф Юнга.
2. Базис Гельфанда-Цетлина. Алгебра Гельфанда-Цетлина.
3. Элементы Юнга-Юциса-Мэрфи и простота ветвления.
4. Кокстеровские образующие и вырожденная аффинная алгебра Гекке.
5. Основная теорема. Граф ветвления представлений симметрических групп.
Раздел 2 Вывод классических результатов теории представлений симметрических групп.
1. Полунормальная и ортогональная формы Юнга.
2. Правило Мурнагана-Накаямы.
3. Соответствие Фробениуса-Юнга.
4. Формула Фробениуса для характеров.
5. Формула крюков.
6. Двойственность Шура-Вейля.
Раздел 3 Элементы асимптотической теории представлений симметрических групп.
1. Элементы асимптотической теории представлений симметрических групп.
