E. Zolotarev, "Introduction to homotopy theory"

This course is dedicated to the basic concepts of homotopy theory, as well as to results about cohomology, which do not included in the course "Introduction to homology theory". During the semester, on this site there will be presented questions for the future exam, useful links and problem sheets.

Курс посвящен базовым понятиям теории гомотопий и результатам о когомологиях, доказательство которых не вошло в курс "Введение в теорию гомологий". В течении семестра тут будут появляться вопросы к будущему экзамену, полезные ссылки и задачи по пройденному материалу.

Starting from second lecture our meetings will be placed in 104 classroom at 15:25-17:00.

Начиная со второй лекции занятия будут проходить в 104 аудитории в 15:25-17:00.

Questions for the future exam:

1. Fiber bundles, examples. Fibers of a fiber bundle over a connected space are homeomorphic. Homotopy lifting property, notions of Serre fibration and Hurewicz fibration. Every fiber bundle is a Serre fibration.
2. Free path space. Cocylinder. Homotopy lifting property for pairs. Equivalent reformulation of a homotopy lifting property using cocylinder. A map is a Serre fibration iff it satisfy homotopy lifting property for every CW pair.
3. Replacement of a map by a fibration. Example: path space fibration. Homotopy extension property. Notion of a cofibration and equivalent definition.
4. Mapping cylinder. Cofibration is a topological embedding (and has closed image in Hausdorff case). Replacement of a map by a cofibration.
5. Borsuk pairs. Description of closed Borsuk pairs in terms of cylinder retraction. Borsuk theorem.
6. H-spaces and co-H-spaces, examples. Group structure on the corresponding Hom-sets. Eckmann-Hilton argument.
7. Definition of suspension and loop functors. Descent of this functors to the homotopy category. Suspension-loop adjunction.
8. Definition of homotopy groups. Higher homotopy groups are abelian. Higher homotopy groups of covering space. Example: $\pi_n(S^1)$. Homotopy groups of product. Homotopy groups of colimit of embedding of T1 spaces.
9. Relative homotopy groups (abelian if n>2). Long exact sequence of pair.
10. Relative homotopy groups of Serre fibration are isomorphic to homotopy groups of base. Long exact sequence of fibration.
11. Notions of n-connected pointed space and pair, n-equivalence, weak equivalence. Homotopy equivalence is a weak equivalence. Pointed pair is n-connected iff inclusion n-connected.
12. Smooth approximation. n-connectedness of the S^{n+1}. Pair without relative cells of dimension up to n is n-connected.
13. Homotopy extension and lifting property.
14. n-equivalence induced bijection (surjection) on homotopy Hom's applied to CW-complex of dimension <n (=n). Whitehead theorem.
15. Cellular approximation theorem. CW approximation theorem.
16. Standard resolution. Functor Tor over principle ideal domain. Tor equivalent for every free resolution. Tor is symmetric functor. Functor Ext.
17. Universal coefficient theorem for (co)homology of chain complexes. Corollary: universal coefficient theorem for (co)homology of topological spaces.
18. Map induced isomorphism of integral homology iff induced isomorphism on homology with coefficients in Q and Z/p. Algebraic Kunneth theorem.
19. Acyclic model theorem. Eilenberg-Zilber theorem. Topological Kunneth theorem.
20. Pontryagin product. Bott-Samelson theorem.
21. Definition of Eilenberg subcomplex. Eilenberg subcomplex of n-connected pair is chain homotopy equivalent to singular chain complex. Weak equivalence induces isomorphism on (co)homology with any coefficients.
22. Hurewicz homomorphism. Absolute/relative Hurewicz theorem.
23. Homological Whitehead theorem. James construction. Cell structure on J(X).
24. Homology of J(X). James construction is weak equivalent to loops on suspension. Freudenthal suspension theorem.
25. Eilenberg-MacLane spaces, definition and examples. Construction of "killing" homotopy groups. Existence of CW-complex K(G,n). Uniqueness of homotopy type K(G,n).
26. Existence of Postnikov system. Convergence (i.e. limit over the Postnikov tower of CW-complex X is weak equivalent to X).
27. Cup-product. Leibniz rule. Relative version of cup-product. Cup-product is graded-commutative.
28. Cross-product. Cohomological Kunneth formula (without proof). Examples: cohomology of tori and projective spaces.
29. Cohomology of J(S^{2n}). Hopf invariant. Direct summand Z in $\pi_{4n-1}(S^{2n})$. Computation of the first stable homotopy group of spheres.

Вопросы к экзамену:

1. Локально тривиальные расслоения, примеры. Слои локально тривиального расслоения над связным пространством гомеоморфны. Свойство поднятия гомотопии, расслоения Серра и Гуревича. Любое локально тривиальное расслоение является расслоением Серра.
2. Пространство путей. Коцилиндр. Свойство поднятия гомотопии для пар. Эквивалентная переформулировка свойства поднятия гомотопии через коцилиндр. Расслоение Серра удовлетворяет свойству поднятия гомотопии для любой клеточной пары.
3. Замена отображения на расслоение. Пример: расслоение пространства путей. Свойство продолжения гомотопии. Корасслоения. Эквивалентная переформулировка.
4. Цилиндр отображения. Корасслоение является топологическим вложением, образ которого замкнут в Хаусдорфовом случае. Замена отображения на корасслоение.
5. Пары Борсука. Характеризация замкнутых пар Борсука через ретракцию цилиндра. Теорема Борсука.
6. H-пространства и ко-H-пространства, примеры. Групповая структура на соответствующих гомотопических хомах. Аргумент Экмана-Хилтона.
7. Определение функторов надстройки и петель. Спуск этих функторов на гомотопическую категорию. Сопряженность.
8. Определение гомотопических групп, абелевость при n>1. Высшие гомотопические группы накрытия. Пример: $/pi_n(S^1)$. Гомотопические группы произведения и копредела вложений T1 пространств.
9. Относительные гомотопические группы, абелевость при n>2. Длинная точная последовательность пары.
10. Относительные гомотопические группы расслоения Серра изоморфны гомотопическим группам базы. Длинная точная последовательность расслоения.
11. n-связные пунктированные пространства и пары, n-эквивалентности и слабые эквивалентности. Гомотопическая эквивалентность является слабой эквивалентностью. Пунктированная пара является n-связной iff вложение n-эквивалентность.
12. Гладкая аппроксимация. n-связность S^{n+1}. n-связность пары не имеющей относительных клеток размерности вплоть до n.
13. Свойство продолжения и поднятия гомотопии.
14. n-эквивалентность индуцирует биекцию (сюръекцию) на гомотопическом хоме с CW-комплексом размерности <n (=n). Теорема Уайтхеда.
15. Теорема о клеточной аппроксимации отображений. Теорема о CW аппроксимации пространств.
16. Стандартная резольвента. Функтор Tor над областью главных идеалов. Для вычисления Tor'а можно брать любую свободную резольвенту. Симметричность Tor'а. Функтор Ext.
17. Теорема об универсальных коэффициентах для (ко)гомологий цепных комплексов. Следствие: теорема об универсальных коэффициентах для (ко)гомологий топологических пространств.
18. Отображение индуцирует изоморфизм на целочисленных гомологий iff индуцирует изоморфизм на гомологиях с коэффициентами в Q и Z/p. Алгебраическая теорема Кюннета.
19. Теорема об ацикличных моделях. Теорема Эйленберга-Зильбера. Топологическая теорема Кюннета.
20. Произведение Понтрягина. Теорема Ботта-Сэмельсона.
21. Определение подкомплекса Эйленберга. Подкомплекс Эйленберга n-связной пары цепно гомотопен сингулярному цепному комплексу. Слабая эквивалентность индуцирует изоморфизм на (ко)гомологиях с любыми коэффициентами.
22. Гомоморфизм Гуревича. Абсолютная/относительная теорема Гуревича.
23. Гомологическая теорема Уайтхеда. Конструкция Джеймса. Клеточная структура J(X).
24. Гомологии J(X). Конструкция Джеймса слабо эквивалентна петлям надстройки. Теорема Фрейденталя о надстройке.
25. Пространства типа K(G.n), определение и примеры. Конструкция "убивания" гомотопических групп. Существование CW-комплекса типа K(G,n). Единственность гомотопического типа K(G,n).
26. Существование башни Постникова. Сходимость (предел по башне Постникова клеточного комплекса X слабо эквивалентен X).
27. Cup-произведение. Правило Лейбница. Относительное cup-произведение. Cup-произведение градуированно-коммутативно.
28. Cross-произведение. Когомологическая формула Кюннета (без доказательства). Примеры: когомологии торов и проективных пространств.
29. Когомологии J(S^{2n}). Инвариант Хопфа. Прямое слагаемое Z в $/pi_{4n-1}(S^{2n})$. Вычисление первой стабильной гомотопической группы сфер.

References/Литература

• Arkowitz M., Introduction to Homotopy Theory
• Fuchs D., Fomenko A., Homotopical Topology
• Hatcher A., Algebraic Topology
• May J.P., A Concise Course in Algebraic Topology
• Selick P., Introduction to Homotopy Theory
• tom Dieck T., Algebraic Topology

For the introduction to the subject I recommend books [Hatcher], [tom Dieck]. The textbook [May] is very good, but someone may think that explanation is pretty concise. [Selick] contains more advanced topics.

Для первого знакомства с предметом я советую книги [Hatcher], [tom Dieck]. Учебник [May] покрывает большую часть материала и хорошо структурирован, но для кого-то изложение может показаться слишком сжатым. [Selick] содержит более продвинутые темы.

Exemplary course plan:

1. Fibrations and cofibrations.
2. Suspension and loop functors.
3. Higher homotopy groups.
4. Homotopy theory of CW complexes (cellular approximation, Whitehead theorem).
5. Universal coefficient theorem. Mayer-Vietoris sequence.
6. (Co)homology of tensor product of (co)chain complexes. Künneth formula.
7. Bott-Samelson theorem. Hurewicz theorem.
8. James construction and Freudenthal suspension theorem.
9. Eilenberg-MacLane spaces. Postnikov and Whitehead towers.
10. Cup product.
11. Hopf invariant.
12. Cap-product. Homological definition of orientation. Poincaré duality.
13. Obstruction theory. Representability of cohomology.

Примерный список тем, предварительно запланированных в рамках курса:

1. Расслоения и корасслоения.
2. Функторы надстройки и петель.
3. Гомотопические группы, их свойства и элементарные вычисления.
4. Гомотопическая теория клеточных пространств (теоремы о клеточной аппроксимации, теорема Уайтхеда).
5. Теорема об универсальных коэффициентах для гомологий и когомологий. Точная последовательность Майера-Вьеториса.
6. (Ко)гомологии тензорного произведения комплексов. Формула Кюннета.
7. Теорема Ботта-Сэмельсона. Теорема Гуревича.
8. Конструкция Джеймса и теорема Фрейденталя о надстройке.
9. Пространства Эйленберга-Маклейна. Башни Постникова и Уайтхеда.
10. Умножение в когомологиях.
11. Инвариант Хопфа.
12. Cap-произведение. Гомологическое определение ориентации. Двойственность Пуанкаре.
13. Теория препятствий. Представимость когомологий.