Б,Б, Шойхет, "Операды"

Б.Б. Шойхет

Операды II

В прошлом семестре мы изучили некоторые основные вопросы связанные с операдами: основные определения и примеры, топологические операды $E_n$ и их цепные операды и гомологии, свободные операды и свободные резольвенты операд.

В этом семестре предполагается обсудить вопросы теории операд связанные с высшей теорией категорий и с теорией гомотопий. Один из основных сюжетов--$n$-операды Батанина, которые не операды в смысле первого семестра, так как арность в этих операдах не целое неотрицательное число, а уровневое дерево с $n$ уровнями. Мы рассмотрим два функтора--простой функтор {\it десимметризации} $\Des$ из симметрических операд в $n$-операды,\ и нетривиальный функтор {\it симметризации } $\Sym$ из $n$-операд в симметрические операды, левый сопряженный к $\Des$. Глубокая и нетривиальная теорема Батанина состоит в том что симметризация стягиваемой кофибрантной $n$-операды это операда имеющая гомотопический тип $E_n$. Значение этой теоремы в том что действиями стягиваемых $n$-операд можно описывать слабые $n$-категории.
Для доказательства используется много различных идей, в частности классификаторы для отображения монад и разбиение Фокса-Нёйвирса
конфигурационного пространства Фултона-Макферсона. Я надеюсь рассказать его основные идеи.

Также мы рассмотрим приложения как это все работает: связь с описанием гомотопических свойств категории малых дг категорий (по работе Тамаркина What do dg categories form? и моему альтернативному подходу к той же задаче), с $n$-моноидальными категориями, и если получится с первыми главами трактата Гротендика Pursuing Stacks (последнее являлось изначальной мотивацией Батанина, и впоследствии было развито в работах Бергера и Цисински).

Пререквизиты: Курс предполагает знание алгебры и топологии 1-2 курсов, а также знакомство с курсом Операды читанном мной в первом семестре 2023/24 учебного года.

Литература:

[1.] J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer
[2.] P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972
[3.] M.Batanin, The Eckmann-Hilton argument and higher
operads
[4.] M.Batanin, Symmetrisation of n-operads and
compactification of real configuration spaces

Б.Б. Шойхет

Операды

Курс будет посвящен изучению операд. Операды были введены Мэем как способ ответить на вопрос: когда топологическое пространство $X$ является $n$-кратным пространством петель: $X=\Omega^nY$, при $n\ge 1$. Мэй ввел операду маленьких дисков $E_n$ и доказал что если операда $E_n$ действует на $X$ и $\pi_0(X)$ группа, то $X$--$n$-кратное пространство петель. Более того, из этого действия можно и найти само пространство $Y$, посредством некоторого обобщения бар-конструкции.
Мы начнем с основных определений связанных с операдами, и перейдем к обсуждению этих результатов Мэя.

Затем мы обсудим "несимметрические версии" операды $E_n$--а именно, $n$-операды Батанина. Если в обычных операдах "арность" операции это натуральное число, то в $n$-операдах арность это $n$- уровневое дерево. Имеется довольно простой функтор десимметризации--из $n$-операд в симметрические операды, и нетривиальный левый сопряженный к нему--функтор симметризации из $n$-операд в симметрические. При этом оказывается что \ симметризация стягиваемой в каждой арности кофибрантной $n$-операды--это операда $E_n$, в этом состоит фундаментальная и совершенно нетривиальная теорема Батанина. Для доказательства используется много различных идей, в частности классификаторы для отображения монад и разбиение Фокса-Нёйвирса конфигурационного пространства Фултона-Макферсона.

С другой стороны, стягиваемые $n$-операды приспособлены к действию на колчанах и старших колчанах, и приводят к определению ``слабых $n$-категорий''. При этом слабые $n$-категории и $E_n$-алгебры оказываются связанными, весьма явным образом.

Пререквизиты: Курс не предполагает никаких специальных знаний и доступен студентам начиная со 2 курса. Все неизвестное но требуемое будет рассказано по просьбе слушателей.

Литература:

1. J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer
2. P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972
3. M.Batanin, The Eckmann-Hilton argument and higher
   operads
4. M.Batanin, Symmetrisation of n-operads and
   compactification of real configuration spaces