И.А. Панин, " Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика"
И.А. Панин
Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика II
Курс продолжается в весеннем семестре 2024. Первое занятие в пятницу 16 февраля.
Ауд. 203 ПОМИ
19.30.-- 21.30
И.А. Панин
Теорема Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика
Лекции будут читаться в ПОМИ. Заинтересованных просьба зарегистрироваться На первом организационном занятии (на неделе 4 -- 8 августа) для спецкурса решится точный день и точное время. Все будет объявлено в рассылке зарегистрированным и на сайте физматклуба
А.Гротендик определил группы К_0(Х) алгебраических ногообразий для того, чтобы сформулировать и доказать
общую теорему Римана--Роха. Последняя является одним из ключевых вычислительных средств в алгебраической
геометрии. Цель настоящего курса -- сформулировать и доказать указанную теорему в формулировке А.Гротендика.
В работах А.Л.Смирнова и лектора была сформулирована и доказана еще более общая теорема такого типа:
а именно, было введено общее понятие интегрирования на кольцевых теорих когомологий и доказали, что любое кольцевое
преобразование теории phi: А --> В такое, что phi(класс Эйлера в А)=классу Эйлера в В, согласовано
с интегрированиями на А и на В. Если теперь положить А=К_0, В=когомологии с рациональными коэффициентами, phi=ch
(характер Черна), и сопрячь обычную ориентацию в когомологиях на род Тодда, то получится получится новая ориентация
на когомологиях такая, ch(класс Эйлера в К_0)=новый класс Эйлера в когомологиях. Поэтому характер Черна
согласован с обычным интегрированием (прямыми образами) на К_0 и с новым интегрированием (прямыми образами) на
когомологиях. Расшифровка поледнего утверждения совпадает с теоремой Римана--Роха--Хирцебруха в форме Гротендика.
Подчеркнем, что в упомянутых работах А.Л.Смирнова и лектора был раскрыт и внутренний смысл знаменателя Рода Тодда:
теории А отвечает формальный групповой закон F_A над А(точки), теории В закон F_B над В(точки). Преобразованию phi
отвечает морфизм Phi(t) из закона F_B в расширенный от А(точки) до В(точки) закон F_A. Род Тодда td(phi) равен
по определению формальному ряду t/Phi(t). Частным случаем и является классический род Тодда t/(1-exp(-t)).
Пререквизиты. Предполагается знание обычных когомологий и немного теории когерентных пучков.
С последними можно познакомиться, например, по статье Бореля и Серра или по Хартсхорну или по брошюре
Львовского (МЦНМО).
Также предполагается знакомство с комплексными алгебраическими многообразиями.
Данный курс расчитан на студентов 3-го, 4-го курсов, на магистрантов и аспирантов.
