If you plan to attend lecture courses please register here.
Symplectic embedding problems and algebraic curves
Grigory Mikhalkin • Université de Genève
From March 1 the lectures will take place at M&CS department (14th Line 29B, Vasilyevsky Island), room 201. The lectures are on Tuesdays, starting from 13:40.
The course will review several geometric discoveries made in different mathematical domains in different times, from the 19th to the 21st century. The central theme for the course will be played by the celebrated symplectic camel theorem of Gromov, as well as some related results on non-squeezing and packing. These statements can be formulated in terms of topology of the space of symplectic embeddings of one phase space into another. In 1985 Gromov has introduced the exceptionally powerful technique of pseudoholomorphic curves. It serves as the main working tool in modern symplectic geometry. In some cases, this technique can be used to reduce symplectic problems to classical enumerative geometry of genuine algebraic curves and their logarithmic images known as amoebas. In their turn, these considerations lead us to tropical geometry.
Four-dimensional topology
Oleg Viro • Stony Brook University
The first meeting will take place on February 16.
The course will review the topology of 4-dimensional smooth manifolds together with other closely related objects, like smooth surfaces in the 4-space. In topology of manifolds, the dimension 4 is special: it is either too small or too high. Many fundamental problems, which have been solved in other dimensions long ago, still stay wide open. Starting from the early eighties, a chain of breakthroughs, based on introducing of new powerful tools, keeps this area one of the most active research domains.
We will overview, first, the results and compare them to parallel results in other dimensions. Then we will concentrate on a few technical approaches and problems with a potential of forthcoming development.
Амёбы, верблюды, симплектические упаковки и алгебраические кривые
Григорий Михалкин • Университет Женевы
С 1 марта лекции будут проходить на факультете МКН СПбГУ (14 линия Васильевского острова 29Б), ауд. 201. Лекции проходят по вторникам, начало в 13:40.
Спецкурс будет включать в себя несколько геометрических сюжетов, появившихся в разных областях математики в разное время, от 19го до 21го века. Центральным мотивирующим результатом для нас будет знаменитая теорема Громова о (симплектическом) верблюде и связанные с ней результаты о несжимаемости, и о симплектических упаковках. Эти результаты могут быть сформулированы как утверждения о топологии пространств симплектических вложений одного фазового пространства в другое. В 1985 году Громовым была разработана исключительно мощная техника псевдоголоморфных кривых, и по сей день являющаяся основным рабочим инструментом симплектической геометрии. Интересно, что в некоторых случаях эта техника позволяет свести симплектические задачи к классической исчислительной геометрии подлинных алгебраических кривых (задаваемых системой полиномиальных уравнений) и их логарифмических образов (называемых амёбами), что в свою очередь приводит нас к тропической геометрии.
Четырёхмерная топология
Олег Виро • Университет Стони Брук
Первое занятие состоится 16 февраля.
В курсе будет дан обзор топологии гладких четырёхмерных многообразий и других тесно связанных с ними объектов, таких как гладкие поверхности в четырёмерном пространстве. Размерность 4 в топологии многообразий занимает особое место: она либо слишком мала, либо слишком велика. Многие фундаментальные проблемы, давно решённые для других размерностей, остаются открыты. Начиная с начала восьмидесятых годов прошлого века, непрекращающаяся цепочка достижений, основанных на появлении новых технических средств, держит четырёхмерную топологию в статусе одной из наиболее активных областей.
Первоочередная цель курса - обозреть основные результаты и сравнить их с соответствующими результатами в других размерностях. Затем внимание будет сосредоточено на нескольких подходах и проблемах, обещающих быть (или стать) активными в ближайшее время.
