Павел Иевлев, Поверхнострый обзор теории белого шума

Tuesday 28 May 2024, 18:45 → 21:00 Europe/Moscow

Zoom

28 мая (вторник) в 18:45 только в Zoom❗️(канал 862-736-624-77, пароль стандартный) состоится доклад в рамках студенческого семинара по функциональному анализу.

Ниже представлена аннотация доклада. Приглашаются все желающие!

Павел Иевлев (UNIL)

Поверхнострый обзор теории белого шума

Теория белого шума — это небольшой, но богатый с точки зрения имеющихся на нём объектов, островок теории гауссовских мер на бесконечномерных пространствах. Она отправляется от теоремы Бохнера-Минлоса, позволяющей задать стандартную гауссовкую меру на пространстве обобщённых функций S'(R) при помощи её преобразования Фурье. Относительно этой меры можно развить особое исчисление, которое называется анализом белого шума, а также ввести классы бесконечномерных обобщённых функций (распределения Хиды). В пространствах Хиды уживаются броуновское движение, интегралы по нему, его производные всех порядков, а также бесконечномерные дельта-функции и много других интересных объектов. Помимо этого, анализ белого шума позволяет определить операцию умножения обобщённых функций Хиды, родственную тому что в физике называют ренормировкой.

 

В лекции я очень кратко расскажу об основных конструкциях теории белого шума. Все факты, о которых я буду рассказывать, можно считать стандартными (если не классическими), и мы не будем касаться никаких тонких вопросов теории. Мы начнём с обсуждения гауссовских мер на ядерных пространствах, обсудим, почему гильбертовы пространства слишком маленькие, чтобы разместить на себе стандартную гауссовскую меру, и что с этим делать, покажем, как снабдить S'(R) топологией, относительно которой оно было бы ядерным. Практически нерассмотренными останутся бесконечномерное вариационное исчисление Малявэна (хотя некоторые понятия из этой науки мы всё же введём), теория дробного (fractional) белого шума, приложения теории белого шума к интегралам Фейнмана и решению СДУ, а также многочисленные вероятностные приложения.