Летняя школа-конференция «Текущие достижения в геометрии и топологии».

Мотивы Чжоу и группы Чжоу
(д. ф.-м. н., член-корр. РАН С. О. Горчинский, МИАН).
Группы Чжоу являются одним из естественных аналогов в алгебраической геометрии для групп гомологий в топологии. Описание групп Чжоу алгебраических многообразий и их свойств давно стало отдельной областью исследований. 
Теория мотивов Чжоу является структурным, категорным подходом к описанию групп Чжоу алгебраических многообразий. 
Мы дадим краткое введение в группы Чжоу и мотивы Чжоу. Далее будет описана общая техника работы с мотивами Чжоу, позволяющая сводить мотивы Чжоу многообразий к мотивам Чжоу многообразий меньшей размерности.
В качестве примеров и приложений этой техники будут обсуждены мотивы трехмерных многообразий с представимыми нуль-циклами, оценка снизу на число порождающих модулей над коммутативными кольцами, а также фантомные подкатегории в производных категориях когерентных пучков.

Алгебро-геометрические решения солитонных уравнений
(д. ф.-м. н., член-корр РАН А. Е. Миронов, СПбГУ, ИМ СО РАН).
В лекциях будет рассказано, как методы алгебраической геометрии применяются при построении решений солитонных уравнений. В частности, мы построим точные решения уравнения Кортевега — де Фриза, которое описывает движение уединенных волн на мелкой воде.


Собственные значения и собственные функции локально конечных графов
(д. ф.-м. н. В. И. Трофимов, ИММ УрО РАН).
Пусть Г - локально конечный граф (т. е. граф с конечными степенями вершин) и F - поле. Естественное действие матрицы смежности графа Г над полем F на векторном пространстве (над полем F) всех F-значных функций на множестве вершин V(Г) графа Г задает линейный оператор A_{Г,F}, исследованию собственных значений и собственных функций которого в случае бесконечного связного графа Г посвящен этот цикл лекций. Особое внимание будет уделено случаю поля F характеристики 0. Одно из следствий разработанной теории: для произвольного бесконечного локально конечного связного графа Г можно так сопоставить каждой его вершине v рациональную функцию R_v(x) из Q(x), что для произвольного поля F характеристики 0 и произвольного элемента a из F, не являющегося полюсом ни одной из функций R_v(x), где v пробегает V(Г), функция из V(Г) в F, отображающая произвольную вершину v в элемент R_v(a), является собственной функцией оператора A_{Г,F}, соответствующей собственному значению a.
Первая лекция посвящена общему обзору теории. Цель второй лекции - датьпредставление об инструментарии теории и, прежде всего, о пропагаторах графов. В третьей лекции предполагается сделать ряд комментариев относительно доказательств результатов и сформулировать некоторые следствия теории.

Теория сложности трехмерных многообразий
(д. ф.-м. н. Е. А. Фоминых, СПбГУ).
Хорошо известно, что любое компактное трехмерное многообразие разбивается на (идеальные) тетраэдры. Минимально возможное число тетраэдров в разбиении называется сложностью многообразия. Сложность - интересный инвариант многообразия. Точные значения сложности известны для табулированных многообразий (их конечное число) и для нескольких бесконечных серий многообразий. Цель курса - получить представление об основных достижениях в данной области топологии.

Список организаторов:

Математический центр мирового уровня "Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера" (МЦМУ ММИ им. Л.Эйлера);

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук;

Математический центр мирового уровня "Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук'' (МЦМУ МИАН);

Международный математический центр в Академгородке.

Мероприятие проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ «Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера», соглашения № 075–15–2025–343, грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2025-303, грант на создание и развитие МЦМУ в Академгородке, соглашение № 075-15-2025-348).