# Geometric and Mathematical Analysis, and Weak Geometric Structures

23 March 2021 to 23 December 2021
Zoom
Europe/Moscow timezone

## Minicourses

If you plan to attend minicourses please register here.

## Geometric flows of networks

### Matteo Novaga (Università di Pisa) and Alessandra Pluda (Università di Pisa)

23.03, 25.03, 30.03, 01.04 18.00-19.30 MSK

The study of geometric flows is a very flourishing mathematical field and geometric evolution equations have been applied to a variety of topological, analytical and physical problems. In particular, in the last decades a great attention has been devoted to the analysis of the mean curvature flow.  In this series of lectures we will introduce the notion of curvature flow of curves and networks, describing the possible  approaches to this  geometric evolution. We will present the state of the art of the problem, from the short time existence and uniqueness to a description of the long time behavior and singularity formation. We will conclude the course with some recent extensions to higher order flows and a list of open problems.

Program:

• Lecture 1: Formulation of the curvature flow of curves and networks and preliminary results.
• Lecture 2: Short time existence and uniqueness of the motion by curvature of networks.
• Lecture 3: Monotonicity formula and analysis of singularities.
• Lecture 4: Elastic flow of curves and networks: State of the art and open problems.

## Gabor analysis for rational functions

### Yurii Belov (St. Petersburg State University)

14.04, 21.04, 28.04, 5.05, 12.05, 19.05, 26.05. 19:00 (MSK)

This series of lectures is aimed to present a recent progress in Gabor analysis for rational
functions and is based on the works by A. Kulikov, Yu. Lyubarskii and the author.

Program:

• Gabor systems: what they are, how do they appear and why we need them.
• Main criterion for rational functions. Finite-diagonal matrices.
• Hunting for positivity. Herglotz functions.
• Irrational densities. Daubechies conjecture.
• Near the criticial hyperbola. Large densities.
• Irregular sampling. Toeplitz approach.
• Sum of two Cauchy kernels. Estimates of frame bounds.

This course is accessible to second year students.
The prerequisites are: basic complex analysis and linear algebra.

## One-dimensional optimization problems

### Emanuele Paolini (Università di Pisa)

11.05, 12.05, 18.05, 19.05, 18.00-19.30 MSK

We will consider optimization problems where the unknown is a one-dimensional object (such as a network) constrained by length and optimizing some geometric functional. We will introduce the tools used in the study of the Steiner problem (minimal length network spanning some set of points), the irrigation problem (minimal network which minimizes its distance from a given set of points) and minimal cluster (the minimal interface required to enclose and separate regions of the plane with given area).

Program:

• The Steiner Problem. Melzak's construction. Hausdorff one-dimensional measure, Hausdorff distance, Golab's theorem.
• Irrigation problems, duality formulation. Generalized Steiner Problem.
• Minimal clusters: existence & Regularity.
• The double bubble, weak formulation. Moebius transformation, monotonicity. The honeycomb problem.

## Loops and Bubbles

### Roberta Musina (Università di Udine)

13.04, 14.04, 20.04, 21.04, 18.00-19.30 MSK

An important class of problems in Riemannian geometry can be stated as follows: given a smooth and orientable Riemanninan manifold M, find an hypersphere U in M having prescribed mean curvature K at each point. We will be mainly focused on the case when the target M is the Euclidean plane and the unknown U is a planar loop. Besides its geometrical interpretation, this (apparently) simple problem naturally arises in the study of the planar motion of an electrified particle that experiences a Lorentz force produced by a magnetostatic field. It can be regarded as a model for a more general question raised by V.I. Arnold in [Uspekhi Mat. Nauk 1986]. We will first discuss some Alexandrov-type uniqueness results in case the prescribed curvature is a positive constant or, more generally, a positive and radially non increasing function. To obtain existence results we will choose a parametric point of view, which will lead us to study certain variational, noncompact systems of second order ODE's for functions on the circle. This will give us the opportunity to briefly introduce some variational (mountain pass lemma) and nonvariational (Lyapunov-Schmidt dimension reduction)basic techniques. In the last part of the course will overview some recent results and open problems in case the target space M is the hyperbolic plane, or the Euclidean/hyperbolic 3-dimensional space.

Program:

• The curvature of planar curves. Planar loops and physical interpretation: a related ODE system and Arnol'd problem. Planar loops of positive curvature. Homework: the curvature of circles and ellipses, radially symmetric prescribed curvatures.
• The four vertex theorem (Osserman's proof).
• Uniqueness results: Alexandrov (1956), Aeppli (1960) and more (2011).
• The (pseudo)-length functional and the weighted, signed area functional.
• The variational approach. A quick introduction to variational methods.
• Palais-Smale condition, the Mountain Pass Lemma, saddle points.
• A non-variational approach: the Lyapunov-Schmidt dimension reduction.
• Loops of prescribed curvature in the hyperbolic plane. Bubbles in the Euclidean and in hyperbolic spaces: recent results and open problems.

## Закон повторного логарифма Н.Г. Макарова и спектр интегральных средних

### Ильгиз Каюмов (КФУ)

Даты: 25 и 29 июня, 7 и 9 июля. Страница курса.

Программа миникурса:

Лекция 1. Закон повторного логарифма для пространства Блоха.

В этой лекции будет дано доказательство закона повторного логарифма Н.Г. Макарова для функций из пространства Блоха. Точность закона будет подтверждена разбором конкретного примера из теории лакунарных рядов Адамара.

Лекция 2. Метрические свойства гармонической меры на жордановых кривых.

Здесь будет дано приложение закона повторного логарифма Макарова для функций Блоха к конформным отображениям, описаны свойства гармонической меры и ее связь с мерами Хаусдорфа.

Лекция 3. Спектр интегральных средних для конформных отображений.

Будет дано определение спектра интегральных средних и приведен ряд оценок, а также будет указана связь между поведением спектра в нуле и закона повторного логарифма. Кроме того, будет установлена связь между спектром и размерностью Минковского жордановой кривой.

Лекция 4. Гипотеза С. Смейла о критических значениях полиномов.

В основе лекции 1 лежит классическое неравенство Бибербаха |a2|<=2. С применением этого же неравенства будет доказан классический результат С. Смейла о том, что для любого многочлена такого, что p(0)=p'(0)-1=0 найдется критическая точка z такая, что |p(z)/z|<4. Кроме того, будет сформулирована гипотеза Смейла и указаны подходы к ее исследованию.

## Several complex variables: outline

### Norman Levenberg (University of Indiana)

We propose approximately 10 lectures over a period of 5 weeks with one lecture each Tuesday and Thursday beginning at 6 PM Moscow time. The duration of each lecture should be approximately 100 minutes – two 50 minute sessions with a ten-minute break in between. See also: https://eimi.ru/course-several-complex-variables-outline/

Program:

• Introduction. Revisiting C: Cauchy-Pompieu formula, Runge’s theorem, and solving ̄∂; onto Cd and holomorphic functions, Cauchy integral formula for polydisks, power series, solving ̄∂ with compact support, Hartogs’ Kugelsatz;
• Domains of holomorphy and holomorphic convexity. Definition and examples of domain of holomorphy, holomorphic convexity, Cartan-Thullen theorem;
• Integral formulas and pseudoconvexity. Bochner-Martinelli kernel, Cauchy-Fantappie forms, Cauchy-Szegoe kernel, polynomial convexity and Oka-Weil theorem, plurisubharmonic functions and pseudoconvexity (4) L2 − ̄∂ techniques. Hoermander’s L2 − ̄∂ theory and a solution of the Levi problem;
• Cousin I and II problems. Cousin problems and applications to approximation theory;
• (*if time) Introduction to pluripotential theory. Extremal plurisubharmonic functions and the complex Monge-Ampere operator.

## Емкости конденсаторов: асимптотические формулы и геометрические преобразования

### Владимир Дубинин (институт прикладной математики дальневосточного отделения РАН)

Даты: 20, 23, 27 и 29 октября. Страница курса.

Курс лекций посвящен развитию емкостного подхода и симметризации в приложениях к современным и классическим задачам геометрической теории функций. На протяжении всего курса рассматриваются только конформная емкость и конденсаторы на комплексной плоскости, либо на римановой поверхности. Вместе с тем, результаты, связанные с геометрическими преобразованиями пластин конденсаторов и поведением емкости конденсаторов при этих преобразованиях, естественным образом переносятся на весьма широкий класс вариационных емкостей и конденсаторов в евклидовом пространстве большего числа измерений. В качестве введения рассматриваются классические конденсаторы с двумя пластинами, заданные в областях сферы Римана. Затем мы переходим к изучению свойств конденсаторов с тремя и более пластинами: различных видов монотонности, принципов композиции и симметрии. На второй лекции выводятся асимптотические формулы для емкостей обобщенных конденсаторов, когда некоторые пластины этих конденсаторов стягиваются в точки, включая случай вырождения всех пластин конденсатора. Здесь же обсуждается понятие приведенного модуля, частные случаи которого в виде модулей двуугольников и треугольников рассматривались ранее с позиции метода экстремальных метрик.

Изучение геометрических преобразований начнем с поляризации – простейшей, но весьма важной перестановки пластин конденсатора. Коснемся истории вопроса, связанной с задачей Вуоринена. Затем докажем основной результат и обсудим обобщения и приложения этого результата, в частности, к решению одной задачи Гончара. Далее познакомимся с цепочкой преобразований, связанной с поляризацией, которая приводит к различным видам симметризации конденсаторов, как на плоскости, так и в пространстве. Наконец, коснемся диссимметризации конденсаторов – единственного пока преобразования симметричного конденсатора в несимметричный, при котором емкость конденсатора не возрастает.

Помимо классических приложений метода симметризации мы рассмотрим новые направления: геометрические оценки производной Шварца, неравенства для модулей критических значений конечных произведений Бляшке и некоторые оценки гриновой энергии дискретного заряда. В каждой лекции предполагается исходить из постановки задачи (либо методологической идеи) и затем реализации решения этой задачи на доступном примере. После чего приводится обзор возможных обобщений с указанием нерешенных проблем. В основу лекций легли некоторые главы из книги автора «Condenser capacities and symmetrization in geometric function theory» (Birkhäuser/Springer, 2014).

## Interpolation in Reproducing Kernel Hilbert spaces

### Nikolaos Chalmoukis (Università di Bologna)

References
[1] L. Carleson. On a class of meromorphic functions and its associated exceptional sets. Appelberg, 1950.
[2] L. Carleson. An interpolation problem for bounded analytic functions. Amer. J. Math., 80(4):921, oct 1958.
[3] R. Nevanlinna. Über beschränkte funktionen die in gegebenen punkten vorgeschriebene werte annehmen. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A, 13:1–71, 1919.
[4] R. Nevanlinna. Über berschränkte Funktionen. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A, 32(7), 1929.
[5] G. Pick. Über die beschränkungen analytischer funktionen, welche durch vorgegebene funktionswerte bewirkt werden. Math. Ann., 77(1):7–23, March 1915.
[6] H. S. Shapiro and A. L. Shields. On some interpolation problems for analytic functions. Amer. J. Math., 83(3):513–532, 1961.

## Mean values of the Riemann zeta function.

### Winston Heap (Shandong University)

In the first part of this talk we give a brief overview of mean values of the Riemann zeta function on the critical line and look at some of the major difficulties in this area. In the second part we consider the question of their order and go over some recent results which, when combined, resolve this issue. These will include Soundararajan’s conditional (on the Riemann hypothesis) upper bound and Harper’s sharpening of it, and  recent joint works of myself with Radziwi\l\l and Soundarajan on unconditional methods.

## The Hardy space in engineering

### Nicola Arcozzi (Università di Bologna)

We will be covering a basic range of topics in linear control theory w.r.t. Hardy spaces on the unit disc. The plan is to discuss:

1. Basics facts on the Hardy space. Linear, time-invariant, causal systems acting on discrete signals. Some problems.
2. Invariant features and Beurling’s theorem. Characterization of linear, time-invariant, causal systems, in terms of multipliers.
3. Causality and Toeplitz operators. and  Approximating a noncausal system by a causal one: Hankel operators.
4. Feedbacks. The model matching problem and Pick interpolation.