Зимняя математическая школа СПбГУ — ВШЭ
Зимняя математическая школа пройдет в Санкт-Петербурге очно с 5 по 9 апреля.
Санкт-Петербургский Государственный Университет и Высшая Школа Экономики объявляют о проведении традиционной зимней школы для студентов бакалавриатов. В программе 8 миникурсов по разным областям математики от преподавателей факультета математики и компьютерных наук СПбГУ и математического факультета НИУ ВШЭ (Москва). Школа ориентирована на студентов математических бакалавриатов России.
Мы приглашаем студентов старших курсов математических и смежных специальностей, а также выпускников программ бакалавриата, планирующих продолжить изучение теоретической математики. Участникам будут оплачены дорога и проживание. Количество мест ограничено, и мы заранее приносим извинения за то, что не сможем одобрить все поданные заявки.
Лекторы и курсы:
В данном мини-курсе мы рассмотрим явление интегрируемости, которое выражается в том числе в наличии бесконечного числа сохраняющихся величин, на примере теории поля в двух пространственно-временных измерениях, называемой моделью "сосиски". Мы разберём её свойства и в квантовом, и в классическом случае. Свойство интегрируемости позволяет в исследовании данной теории выйти далеко за рамки теории возмущений.
Группа Нерона-Севери NS(X) алгебраического многообразия X - это "алгебраическая часть" его вторых когомологий, т. е. группа классов линейных расслоений в H^2(X, Z). Назовем вещественной группой Нерона-Севери соответствующее векторное подпространство H^2(X, R). Если X поверхность, то форма пересечения на нем - сигнатуры (+, -, ...-); поэтому проективизацию положительного конуса можно рассматривать как модель гиперболического пространства.
Если f автоморфизм поверхности X, то он действует на этом гиперболическом пространстве; автоморфизмы гиперболического пространства бывают эллиптические (с неподвижной точкой внутри), параболические (с одной неподвижной точкой на границе) и локсодромические (с двумя неподвижными точками на границе); так же мы назовем и автоморфизмы поверхности. Легко видеть, что эллиптические автоморфизмы - это просто автоморфизмы конечного порядка. Локсодромические автоморфизмы - это автоморфизмы "положительной энтропии", у них достаточно сложная динамика. Параболические автоморфизмы - это "промежуточный случай": Гизатуллин показал, что такие автоморфизмы сохраняют эллиптический пучок на поверхности.
Если X поверхность типа К3, то последнее утверждение проверяется легко. Параболический автоморфизм - это, с точностью до взятия степени, послойный сдвиг в эллиптическом пучке. Серж Канта заметил, что орбиты такого автоморфизма плотны почти во всех слоях; из этого легко выводится, например, что группа, содержащая два параболических автоморфизма с разными инвариантными эллиптическими пучками, действует на поверхности эргодически.
Я расскажу об обобщении этой истории на многомерный аналог К3 поверхностей - неприводимые голоморфно симплектические (гиперкэлеровы) многообразия. В этом случае на H^2(X, Z) есть квадратичная форма Бовилля-Богомолова, заменяющая форму пересечения. Известная гипотеза, проверенная во всех известных примерах, утверждает, что параболическому автоморфизму соответствует расслоение с общим слоем тором; можно показать (и это нетривиальная теорема), что параболический автоморфизм тогда представляет собой послойный сдвиг. Будет доказана плотность орбит почти во всех слоях: при этом существенно используются вариации структур Ходжа, в частности, теорема Делиня о полупростоте.
Миникурс основан на недавней совместной работе с М. Вербицким и читается не столько затем, чтобы сформулировать какие-то открытые вопросы, сколько в качестве приглашения в комплексную алгебраическую геометрию; то, с чем мы столкнулись по ходу дела, оказалось достаточно красиво и разнообразно.
При изучении сигналов часто испозьзуются представления в которых амплитуда зависит не только от частоты, но и от времени. Это соответствует оконному преобразованию Фурье. Изучением его свойств занимается частотно-временной анализ. В миникурсе будет дан краткий обзор общей теории (анализ Габора, распределение Вигнера, преобразование Баргмана). Также мы рассмотрим несколько типичных задач частотно-временного анализа — описание фреймов Габора, задачу о концентраци спектрограммы, HRT — гипотезу и др. Особое внимание будет уделено недавнему прогрессу в задаче об описании фрейм-множеств.
Случайное блуждание, определяемое как последовательность частичных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, является одним из наиболее центральных и изученных объектов теории вероятностей. Для описания его поведения было разработано множество подходов, основывающихся на применении методов из совершенно различных областей математики. В данном миникурсе мы сосредоточимся на комбинаторном подходе, с помощью которого можно получить ряд результатов чрезвычайно общего характера, в которых распределение шагов блуждания играет лишь второстепенную роль. Будет рассмотрено как блуждание на прямой, так и многомерное случайное блуждание. Для понимания достаточно знания базового университетского курса по теории вероятностей.
Большое решето — это семейство методов аналитической теории чисел, опирающееся на различные неравенства с квадратичными формами. В данном миникурсе я расскажу о самых классических неравенствах большого решета и их применениях, таких как верхние и нижние оценки для количества простых чисел в коротких интервалах, плотностные теоремы для нулей дзета-функции и теорема Линника о наименьшем квадратичном невычете. Мы также обсудим результаты о группе Галуа случайного многочлена с целыми коэффициентами, использующие многомерный вариант большого решета.
Теория сложности доказательств длины "формальных" доказательств тавтологичности пропозициональных формул (чаще всего данные формулы кодируют какие-то комбинаторныуе принципы, наприер, принцип Дирихле). Это одна из немногих областей теории сложности, где удается доказать безусловные нижние оценки и за последние тридцать лет в данной области произошло ряд существенных прорывов. Что не менее важно, сложность доказательств активно применяется для получения оценок на время работы алгоритмов и на схемную сложность функций. Мы рассмотрим, как основные задачи теории сложности доказательств, так и примеры применений.
Будут рассмотрены некоторые оптимизационные задачи, так или иначе связанные с изопериметрическими множествами - множествами минимального периметра при заданном объеме (и возможно при каких-то еще дополнительных ограничениях). Такие задачи возникали еще в глубокой древности (достаточно напомнить классическую задачу Дидоны), и в то же время являются объектом самых современных исследований. В данном миникурсе мы как раз и предполагаем осветить несколько веков истории такого рода pадач, вплоть до нашего времени.
Курс посвящен глубоким связям между абсолютно непрерывными кривыми в пространстве мер с метрикой Канторовича, уравнениями непрерывности и мерами на пространстве непрерывных функций. Будет показано, что всякая абсолютно непрерывная кривая в пространстве мер является решением уравнения непрерывности, а всякое вероятностное решение уравнения непрерывности является одномерной проекцией меры, сосредоточенной на решениях соответствующей динамической системы. Кроме того, мы обсудим градиентные потоки в пространстве мер и их приложения к уравнениям математической физики.
