Б.Б. Шойхет "Алгебра и теория гомотопий II"
Б.Б. Шойхет
Алгебра и теория гомотопий II
Начало в субботу 22 феврвля в 16:00 в 311 ауд ПОМИ
Этот курс является продолжением курса “Алгебра и теория гомотопий" который читался
в осеннем семестре 2024 года. В прошлом семестре мы обсудили распетливание Мэя,
в том числе для несвязных пространств. Также обсуждалась работа Грэма Сигала про
итерированные пространства петель и конфигурационные пространства, мы доказали теорему
Барратта-Придди-Квиллена по Сигалу, и доказали теорему о групповом пополнении по
работе Мак-Даф и Сигала.
В этом семестре предполагается рассмотреть сюжеты про распетливание и их связь
с высшей алгебраической K-теорией. Мы начнем с работы Сигала про Γ-пространства
и его конструкции спектра по Γ-пространства, приводящей к еще одному доказательству
теоремы Барратта-Придди-Квиллена. Затем мы обсудим “категорификацию” конструкции
Сигала, принадлежащую Томасону. Затем планируется обсудить связь всего этого с конструкциями
высшей алгебраической K-теории: плюс-конструкции Квиллена, Q-конструкции Квиллена,
и ее обобщения данного Вальдхаузеном, а также эквивалентность плюс-конструкции и Q-
конструкции.
Пререквизиты: В принципе предполагается хотя бы частичное знакомство с содержанием
курса прошлого семестра. Но можно придти и посмотреть если вы и не ходили/не смотрели
записи прошлого семестра.
Литература:
1. G.Segal, Categories and cohomology theories.
2. R.Thomason, Homotopy colimits in the category of small categories.
3. Дж.Адамс, Бесконечнократные пространства петель.
4. V.Srinivas, Algebraic K-theory.
Алгебра и теория гомотопий
Предположительно (не окончательно) начало в субботу 14 сентября в 14:00 в 311 ауд ПОМИ
Мы обсудим различные сюжеты связанные с алгебраическим описанием гомотопического типа $n$-кратных пространств петель.
Мы начнем с изложения работы Мэя [2] в которой дается характеризация $n$-кратных пространств петель в терминах действия операды маленьких дисков $E_n$. Более того, строится явное распетливание, то есть пространство $Y$ такое что данное пространство $X$ с действием операды $E_n$ и некоторым условием на $\pi_0$ слабо гомотопически эквилентно $n$-кратному пространству петель $\Omega^n(Y)$, с помощью монадной бар-конструкции.
Далее планируется обсудить подход Сигала к той же задаче через $\Gamma$-пространства, групповое пополнение, и доказательство Сигала теоремы Барратта-Придди-Квиллена. А также категоризацию распетливания Сигала по Томасону.
Пререквизиты: Курс предполагает знание алгебры и топологии 1-2 курсов. Некоторое знакомство с элементарной теорией категорий будет полезно. Предварительных знаний теории операд не предполагается.
\vspace{ 2mm}
Литература:
[1] J.-L.Loday, B.Vallette, Algebraic Operads, Springer
[2] P.May, The geometry of iterated loop spaces, Lecture Notes in Mathematics, Springer 1972
[3] Дж.Адамс, Бесконечнократные пространства петель
[4] G.Segal, Categories and cohomology theories, Topology 13 (1974)
