А.С. Ананьевский, "Стабильная теория гомотопий"

Задачи к экзамену. Желательно, чтобы каждый решил какую-то свою задачу (или несколько), мы сначала обсудим задачу, а потом побеседуем в целом по курсу. Если с задачами возникнут проблемы, то возможен более классический вариант -- подробный ответ случайного пункта из программы ниже и затем разговор по курсу в целом.

Программа спецкурса:

1. Определение надстройки, формулировка теоремы Фрейденталя о надстройке, определение категории Спеньера-Уайтхэда и то, что функтор когомологий пропускается через неё.
2. Определение колец кобордизмов, спектров кобордизмов, формулировка и набросок доказательства (=конструкция Понтрягина-Тома) теоремы Понтрягина-Тома.
3. Определение категории спектров, примеры спектров (спектры кобордизмов и надстроечный спектр), гомотопические группы спектров, определение стабильной гомотопической категории как локализации категории спектров, формулировка основных свойств стабильной гомотопической категории.
4. Локализация категорий, нестабильная гомотопическая категория как локализация категории топологических пространств и как категория топологических пространств, допускающих структуру CW-комплекса, по отношению гомотопности.
5. Симплициальные множества: определения, примеры (представимые и Sing(X)), геометрическая реализация, сопряженность геометрической реализации и Sing(-), геометрическая реализация коммутирует с копределами и (без доказательства) конечными произведениями, геометрическая реализация симплициального множества допускает структуру CW-комплекса.
6. Симплициальные множества: определение комплекса Кана, примеры комплексов Кана (Sing(X) и симплициальная абелева группа), формулировка утверждения о том, что гомотопность отображений в комплекс Кана является отношением эквивалентности, гомотопические группы комплексов Кана, формулировка о теоремы об аппроксимации CW-комплексом посредством |Sing(X)|, формулировка теоремы о об описании нестабильной гомотопической категории как категории комллексов Кана с точностью до гомотопности.
7. Нормализованый комплекс и комплекс Мура симплициальной абелевой группы, описание конструкции пространств Эйленберга-Маклейна посредством геометрической реализации свободной симплициальной абелевой группы.
8. Подходящие категории топологических пространств, категория компактно-порождённых слабо Хаусдорфовых пространств как подходящая категория (без доказательств).
9. Слабые эквивалентности, поуровневые слабые гомотопические эквивалентности и гомотопические эквивалентности спектров, и связи между ними. CW-спектры и теорема Уайтхеда для них.
10. Омега-спектры, функтор замены спектра на омега-спектр, слабо эквивалентный исходному.
11. Функтор замены спектра на CW-спектр, поуровнево слабо гомотопически эквивалентный исходному.
12. Описание стабильной гомотопической категории посредством омега-CW-спектров и классов гомотопности отображений между ними. Вычисление группы морфизмов из CW-спектра в омега-спектр.
13. Сопряжённость функтора надстроечного спектра и бесконечного пространства петель, гомотопические группы спектра как морфизмы из надстройки сферического спектра. Описание морфизмов из надстроечного спектра конечного CW-комплекса как копредела.
14. Реализация категории Спеньера-Уайтхэда конечных CW-комплексов как полной подкатегории в стабильной гомотопической категории.
15. Обратимость функтора надстройки.
16. Определение триангулированной категории, структура триангулированной категории на стабильной гомотопической категории.
17. Приведённые теории (ко-)гомологий, длинная точная последовательность пары, последовательность Майера-Виеториса. Преобразования теорий (ко-)гомологий, коэффициенты.
18. Обобщенная теория (ко-)гомологий, ассоциированная со спектром. Теорема Брауна о представимости.
19. Спектры Эйленберга-Маклейна, t-структура, спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха.
20. Моноидальная структура на стабильной гомотопической категории, конструкция через симметрические спектры (без доказательства).
21. Операции на теориях когомологий, описание алгебры Стинрода (без доказательства). Определение инварианта Хопфа и доказательство того, что он может равняться 1 только в размерностях 2^n. План вычисления кольца неориентированных кобордизмов.

---

Пропущенные доказательства:

• Теорема Фрейденталя о надстройке [Kochman, Corollary 3.2.3]; версия про стабилизацию гомотопических групп -- [May, Chapter 11]
• Теорема Понтрягина-Тома [Wall, Chapters 8.1-8.2]
• Теорема Уайтхеда [May, Chapter 10.3]
• Теорема об аппроксимации CW-комплексом: нефункториальная [May, Chapter 10.5], функториальная (через симплициальные множества) следует из [Goerss-Jardine, Theorem I.11.4].
• Факты о симплициальных множествах (геометрическая реализация коммутирует с конечными произведениями, гомотопность морфизмов в комлекс Кана -- отношение эквивалентности, симплициальная группа -- комплекс Кана, описание гомотопической категории посредством комплексов Кана) [Goerss-Jardine, Chapter I]
• Соответствие Дольда-Кана и вычисление гомотопических групп свободной симплициальной абелевой группы [Goerss-Jardine, Chapter III.2]
• Факты про компактно порождённые слабо Хаусдорфовы пространства [Strickland]
• Свойство продолжения гомотопии и поднятия для CW-комплексов [May, Chapter 10.3]
• Моноидальная структура на стабильной гомотопической категории посредством симметрических спектров [Hovey, Shipley, Smith] или [Schwede]
• Вычисление гомотопических групп спектра MO [Malkiewich]

---

Литература:

I. Алгебраическая топология и стабильная теория гомотопий

• Adams J.F., Stable Homotopy and Generalized Homology
• Hatcher A., Algebraic Topology
• Kochman S.O., Bordism, Stable Homotopy, and Adams Spectral Sequences
• May J.P., A Concise Course in Algebraic Topology
• tom Dieck T., Algebraic Topology
• Switzer R.M., Algebraic Topology -- Homotopy and Homology

Если вы интересуетесь алгебраической топологией, я рекомендую прочитать книги [Hatcher], [May] и [tom Dieck]. [Adams, Part III] -- классическое и очень хорошо написанное, но немного устаревшее введение в стабильную теорию гомотопий (в любом случае рекомендую прочитать), [Switzer] -- тоже хороший (но местами весьма технический) классический учебник по стабильной теории гомотопий.

II. Симплициальные множества и модельные категории

• Bousfield A.K., Friedlander E.M., Homotopy theory of Г-spaces, spectra and bisimplicial sets
• Friedman G., An elementary illustrated introduction to simplicial sets
• Goerss P.G., Jardine J.F., Simplicial Homotopy Theory
• Hovey M., Model categories
• Hovey M., Spectra and symmetric spectra in general model categories
• Hovey M., Shipley B., Smith J., Symmetric spectra
• Schwede S., Symmetric spectra

Я рекомендую прочитать [Hovey, Model categories, Chapters I, II], чтобы понять, как непосредственно (без локализации) строят единообразно классические гомотопические категории и производные категориюи. [Goerss-Jardine, Chapter I] -- базовые понятия и конструкции с симплициальными множествами вплоть до доказательства эквивалентности классической гомотопической категории и гомотопической категории на основе комплексов Кана; большая часть современной теории гомотопий формулируеся именно на языке симплициальных множеств. Если вы видите симплициальные множества первый раз, то имеет смысл посмотреть [Friedman] -- там много полезных для интуиции картинок.

III. Прочее

• Hatcher A., Vector Bundles and K-Theory
• Malkiewich C., Unoriented Cobordism
• May J.P., The axioms for triangulated categories
• Strickland N.P., The category of CGWH spaces
• Wall C.T.C., Differential Topology

[Strickland] содержит все необходимые факты о компактно-порождённых слабо Хаусдорфовых пространствах и аккуратно их доказывает. [May] описывает структуру триангулированной категории на стабильной гомотопической категории.

---

Примерный список тем, предварительно запланированных в рамках курса:

1. Стабильные феномены: стабильность (ко-)гомологий, теорема Фрейденталя о надстройке, конструкция Понтрягина-Тома.
2. Определение стабильной гомотопической категории и её базовые свойства. Симметрические спектры.
3. Примеры спектров: надстроечный спектр, спектр Эйленберга-Маклейна, спектры комплексной и вещественной K-теории, спектры кобордизмов.
4. Обобщённые теории (ко-)гомологий и представимость Брауна.
5. Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха.
6. Операции и естественные преобразования обобщённых теорий когомологий. Характер
   Черна, операции Стинрода, операции Адамса.
7. Двойственность Спеньера-Уайтхеда.
8. Стабильная гомотопическая категория с рациональными коэффициентами.
9. Ориентированные теории когомологий. Комплексные кобордизмы, теорема Квиллена.
   и теорема Лазара. Спектры Брауна-Петерсона, K-теория Моравы.
10. Спектральная последовательность Адамса.