А.С. Ананьевский, "Стабильная теория гомотопий"

Parent category

Программа спецкурса:

  1. Определение надстройки, формулировка теоремы Фрейденталя о надстройке, определение категории Спеньера-Уайтхэда и то, что функтор когомологий пропускается через неё.
  2. Определение колец кобордизмов, спектров кобордизмов, формулировка и набросок доказательства (=конструкция Понтрягина-Тома) теоремы Понтрягина-Тома.
  3. Определение категории спектров, примеры спектров (спектры кобордизмов и надстроечный спектр), гомотопические группы спектров, определение стабильной гомотопической категории как локализации категории спектров, формулировка основных свойств стабильной гомотопической категории.
  4. Локализация категорий, нестабильная гомотопическая категория как локализация категории топологических пространств и как категория топологических пространств, допускающих структуру CW-комплекса, по отношению гомотопности.
  5. Симплициальные множества: определения, примеры (представимые и Sing(X)), геометрическая реализация, сопряженность геометрической реализации и Sing(-), геометрическая реализация коммутирует с копределами и (без доказательства) конечными произведениями, геометрическая реализация симплициального множества допускает структуру CW-комплекса.
  6. Симплициальные множества: определение комплекса Кана, примеры комплексов Кана (Sing(X) и симплициальная абелева группа), формулировка утверждения о том, что гомотопность отображений в комплекс Кана является отношением эквивалентности, гомотопические группы комплексов Кана, формулировка о теоремы об аппроксимации CW-комплексом посредством |Sing(X)|, формулировка теоремы о об описании нестабильной гомотопической категории как категории комллексов Кана с точностью до гомотопности.
  7. Нормализованый комплекс и комплекс Мура симплициальной абелевой группы, описание конструкции пространств Эйленберга-Маклейна посредством геометрической реализации свободной симплициальной абелевой группы.
  8. Подходящие категории топологических пространств, категория компактно-порождённых слабо Хаусдорфовых пространств как подходящая категория (без доказательств).
  9. Слабые эквивалентности, поуровневые слабые гомотопические эквивалентности и гомотопические эквивалентности спектров, и связи между ними. CW-спектры и теорема Уайтхеда для них.
  10. Омега-спектры, функтор замены спектра на омега-спектр, слабо эквивалентный исходному.
  11. Функтор замены спектра на CW-спектр, поуровнево слабо гомотопически эквивалентный исходному.
  12. Описание стабильной гомотопической категории посредством омега-CW-спектров и классов гомотопности отображений между ними. Вычисление группы морфизмов из CW-спектра в омега-спектр.
  13. Сопряжённость функтора надстроечного спектра и бесконечного пространства петель, гомотопические группы спектра как морфизмы из надстройки сферического спектра. Описание морфизмов из надстроечного спектра конечного CW-комплекса как копредела.
  14. Реализация категории Спеньера-Уайтхэда конечных CW-комплексов как полной подкатегории в стабильной гомотопической категории.
  15. Обратимость функтора надстройки.
  16. Определение триангулированной категории, структура триангулированной категории на стабильной гомотопической категории.
  17. Приведённые теории (ко-)гомологий, длинная точная последовательность пары, последовательность Майера-Виеториса. Преобразования теорий (ко-)гомологий, коэффициенты.
  18. <19 ноября>
  19. Обобщенная теория (ко-)гомологий, ассоциированная со спектром. Теорема Брауна о представимости.
  20. Спектры Эйленберга-Маклейна, t-структура, спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха.
  21. Моноидальная структура на стабильной гомотопической категории, конструкция через симметрические спектры (без доказательства).
  22. Гомологический изоморфизм связных спектров является изоморфизмом.
  23. Операции на теориях когомологий, описание алгебры Стинрода (без доказательства). Определение инварианта Хопфа и доказательство того, что он может равняться 1 только в размерностях 2^n. План вычисления кольца неориентированных кобордизмов.


Пропущенные доказательства:

  • Теорема Фрейденталя о надстройке [Kochman, Corollary 3.2.3]; версия про стабилизацию гомотопических групп -- [May, Chapter 11]
  • Теорема Понтрягина-Тома [Wall, Chapters 8.1-8.2]
  • Теорема Уайтхеда [May, Chapter 10.3]
  • Теорема об аппроксимации CW-комплексом: нефункториальная [May, Chapter 10.5], функториальная (через симплициальные множества) следует из [Goerss-Jardine, Theorem I.11.4].
  • Факты о симплициальных множествах (геометрическая реализация коммутирует с конечными произведениями, гомотопность морфизмов в комлекс Кана -- отношение эквивалентности, симплициальная группа -- комплекс Кана, описание гомотопической категории посредством комплексов Кана) [Goerss-Jardine, Chapter I]
  • Соответствие Дольда-Кана и вычисление гомотопических групп свободной симплициальной абелевой группы [Goerss-Jardine, Chapter III.2]
  • Факты про компактно порождённые слабо Хаусдорфовы пространства [Strickland]
  • Свойство продолжения гомотопии и поднятия для CW-комплексов [May, Chapter 10.3]
  • Моноидальная структура на стабильной гомотопической категории посредством симметрических спектров [Hovey, Shipley, Smith] или [Schwede]
  • Вычисление гомотопических групп спектра MO [Malkiewich]

Литература:


I. Алгебраическая топология и стабильная теория гомотопий
  • Adams J.F., Stable Homotopy and Generalized Homology
  • Hatcher A., Algebraic Topology
  • Kochman S.O., Bordism, Stable Homotopy, and Adams Spectral Sequences
  • May J.P., A Concise Course in Algebraic Topology
  • tom Dieck T., Algebraic Topology
  • Switzer R.M., Algebraic Topology -- Homotopy and Homology
Если вы интересуетесь алгебраической топологией, я рекомендую прочитать книги [Hatcher], [May] и [tom Dieck]. [Adams, Part III] -- классическое и очень хорошо написанное, но немного устаревшее введение в стабильную теорию гомотопий (в любом случае рекомендую прочитать), [Switzer] -- тоже хороший (но местами весьма технический) классический учебник по стабильной теории гомотопий.

II. Симплициальные множества и модельные категории

Я рекомендую прочитать [Hovey, Model categories, Chapters I, II], чтобы понять, как непосредственно (без локализации) строят единообразно классические гомотопические категории и производные категориюи. [Goerss-Jardine, Chapter I] -- базовые понятия и конструкции с симплициальными множествами вплоть до доказательства эквивалентности классической гомотопической категории и гомотопической категории на основе комплексов Кана; большая часть современной теории гомотопий формулируеся именно на языке симплициальных множеств. Если вы видите симплициальные множества первый раз, то имеет смысл посмотреть [Friedman] -- там много полезных для интуиции картинок.

III. Прочее

[Strickland] содержит все необходимые факты о компактно-порождённых слабо Хаусдорфовых пространствах и аккуратно их доказывает. [May] описывает структуру триангулированной категории на стабильной гомотопической категории.

Примерный список тем, предварительно запланированных в рамках курса:

  1. Стабильные феномены: стабильность (ко-)гомологий, теорема Фрейденталя о надстройке, конструкция Понтрягина-Тома.
  2. Определение стабильной гомотопической категории и её базовые свойства. Симметрические спектры.
  3. Примеры спектров: надстроечный спектр, спектр Эйленберга-Маклейна, спектры комплексной и вещественной K-теории, спектры кобордизмов.
  4. Обобщённые теории (ко-)гомологий и представимость Брауна.
  5. Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха.
  6. Операции и естественные преобразования обобщённых теорий когомологий. Характер
    Черна, операции Стинрода, операции Адамса.
  7. Двойственность Спеньера-Уайтхеда.
  8. Стабильная гомотопическая категория с рациональными коэффициентами.
  9. Ориентированные теории когомологий. Комплексные кобордизмы, теорема Квиллена.
    и теорема Лазара. Спектры Брауна-Петерсона, K-теория Моравы.
  10. Спектральная последовательность Адамса.
There are 9 events in the past. Show There are 9 events in the past. Hide