Вариационное исчисление для математиков и нематематиков
Вариационное исчисление – дополнительные главы для математиков и нематематиков
Занятия по понедельникам в 106 ауд ПОМИ с 17 до 19 очно, а часть занятий - онлайн по понедельникам с 19.00 Начало занятий в ПОМИ в понедельник 28.02.22 в 17.00
Большая просьба регистрироваться
Мы продолжаем серию курсов, целью которых является попытка довести
объем математических знаний и уровень общей математической культуры
студентов и выпускников вузов до того, который считался нормальным 30-40
лет назад, и фактически является минимально необходимым для работы как
математиков и физиков, так и инженеров во многих высокотехнологических
отраслях промышленности (скажем, в разработке сложного программного
обеспечения, робототехнике, анализе больших данных). В этом семестре мы
сосредоточимся на вариационном исчислении. Курс должен быть полезен
для студентов как нематематических, так и математичесик специальностей,
т.к. в нем мы будем обсуждать в т.ч. и те вопросы, которые часто остаются за
рамками соответствующих вводных лекционных курсов в тм числе и для
физико-математических специальностей. При этом он будет максимально
ориентирован на решение конкретных задач, возможно, в опеделенной
мере в ущерб доказательствам абстрактных теорем.
В рамках курса планируется кратко рассказать теоретические основы
вариационного исчисления и рассмотреть как можно большее количество
прикладных задач вариационной природы. Будет подробно обсужден ряд
близких задач из лагранжевой и гамильтоновой механики. Также
предполагается рассмотреть некоторые вариационные задачи, возникающие
в дифференциальной геометрии, в частности, о построении кратчайших
линий (геодезических), поверхностей наименьшего объёма и т.д., а также в
теории оптимального управления.
Курс рассчитан на максимально широкий круг слушателей. Занятия могут
быть полезны прежде всего студентам начальных курсов математических,
физических, технических и смежных с ними специальностей вузов. Для
понимания курса требуется наличие базовых знаний геометрии и
обыкновенных дифференциальных уравнений. Будут полезны, но вовсе не
обязательны знания основ теории уравнений в частных производных и
дифференциальной геометрии (или просто геометрии кривых и
поверхностей).
Примерная программа – максимум (программа-минимум – что получится, и,
скорее всего, будет сильно отличаться от прораммы-максимум).
Часть 1. Основы вариационного исчисления.
- Интегральные функционалы. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Существование минимума
в разных классах. Феномен Лаврентьева. - Прямые методы вариационного исчисления.Релаксация, Гамма-сходимость.
- Множители Лагранжа. Основы выпуклой оптимизации. Выпуклая двойственность.
- Изопериметричческие задачи.
Часть 2. Лагранжева и гамильтонова динамика
1. Вариационный принцип. Принцип наменьшего действия. Уравнения Лагранжа.
2. Преобразования Лежандра.
3. Уравнения Гамильтона.
4. Голономные и неголономные связи.
5. Лагранжевы динамические системы на многообразиях.
6. Теорема Нётер.
7. Принцип Даламбера.
8. Дифференцируемые многообразия и симплектические формы.
9. Гамильтоновы потоки и их алгебра Ли.
10. Параметрический резонанс.
11. Переменные действие-угол.
12. Осреднение.
Часть 3. Принцип максимума Понтрягина
1. Принцип максимума Понтрягина.
2. Пример 1: Ньютоновская аэродинамика.
3. Пример 2: Задача об оптимальном торможении.
4. Пример 3: многомерные задачи.
