Б.Б. Шойхет, "Некоммутативная геометрия и теория деформаций"
Некоммутативная геометрия и теория деформаций, вторая часть
Первая Лекция 18.02.2023 в 12:00 в аудитории 311 ПОМИ
Сайт курса расположен тут
Всех интересующихся просьба регистрироваться тут
В предыдущем семестре мы изучали довольно общие вещи: дифференциальные градуированные (дг) алгебры, $A_\infty$ и $L_\infty$ алгебры, операды, комплексы Хохшильда, функтор деформации связанный с дг алгеброй Ли, и немного замкнутых модельных категорий Квиллена.
Другой заявленной темой, которой мы в прошлом семестре почти не коснулись, была теорема формальности Концевича. В этом семестре мы обсудим эту теорему и два известные ее доказательства--одно самого Концевича, другое Тамаркина. При этом мы будем использовать не так много из обсужденного ранее, поэтому если вы не ходили на лекции в прошлом семестре, можете смело присоединяться сейчас.
Формальной деформацией ассоциативной алгебры $A$ над полем $\k$ называется ассоциативная алгебра определенная над формальными рядами $\k[[t]]$, умножение в которой $\k[[t]]$-линейно, и специализация $t=0$ дает исходную алгебру $A$. Умножение в такой алгебре представляется формальным рядом
$$
f*g=f\cdot g+t B_1(f,g)+t^2 B_2(f,g)+\dots \hspace{7cm}(*)
$$
где $f\cdot g$ умножение в $A$, $f,g\in A$, и все $B_i\colon A\otimes A\to A$ некоторые билинейные операторы. Условие ассоциативности для $*$-произведения представляет собой последовательность условий, которым наши $B_i$ должны удовлетворять.
Предположим теперь что алгебра $A$ коммутативна. Тогда ряд (*) можно рассматривать как деформацию $A$ в некоммутативном направлении. Инфинитезимально (в первом порядке по $t$) ряд (*) задает Пуассонову алгебру на $A$, в которой коммутивное умножение как в $A$, а скобка Ли определяется как ${f,g}=B_1(f,g)-B_1(g,f)$. При этом ассоциативность в порядках $t$ и $t^2$ транслируются в тождестве Лейбница и тождество Якоби, соответственно, что вместе и означает что возникает Пуассонова алгебра. Задача деформационного квантования это обратная задача--по Пуассоной структуре (то есть по $B_1$) построить весь ряд (*), требуется чтобы он задавл ассоциативное умножение. Случай $A=S(V)$ уже крайне нетривиален.
Эта задача была решена Концевичем посредством доказательства более общего утверждения, называемого теоремой формальности. Она формулируется так: когомологический комплекс Хохшильда алгебры $A=S(V)$ (более общо, $A$ гладкая коммутативная алгебра) квазиизоморфен своим когомологиям, как дг алгебра Ли. Другими словами, при данной гладкой коммутативной алгебре $A$, теория ее формальных деформаций как ассоциативной алгебры ``гомотопически то же самое'' что и ее теория деформаций как Пуассоной алгебры.
Концевич доказал теорему формальности используя интегралы по конфигурационным пространствам точек, то есть, по существу методами топологической квантовой теории поля. Тамаркин доказал несколько более общую теорему методами теории операд. Интересно что трансцендентные числа появляются при обоих подходах, как интегралы по конфигурационным пространствам, в подходе Концевича, и как коэффициенты ассоциатора Дринфельда, в подходе Тамаркина.
Другие тэги связанные с теоремой формальности Концевича--формула Дюфло, гипотеза Делиня для коцепей Хохшильда, группа Гротендика-Тейхмюллера, ... Многие из этих вещей допускают обобщения на высшие размерности ( в том смысле что размерность задачи Концевича равна 2), но это во многом еще не сделано. Эти обобщения связаны с высшей теорией категорией, бесконечность-категориями, и другими современными вещами.
Некоммутативная геометрия это очень широкий предмет, который изучает различные подходы к тому что могло бы быть некоммутативным аналогом обычных многообразий. Например, можно пытаться склеить пространство из некоммутативных ассоциативных алгебр, или же рассматривать дифференциальную градуированную (дг) категорию как замену дг категории пучков на коммутативном многообразии. При этом можно в абстрактных категорных терминах переговорить гладкость, компактность, переговорить на языке дг категорий различные когомологические теории, ассоциированные с многообразием, и тд. Можно также рассматривать некоммутативные многообразия как деформации коммутативных. Идеи некоммутативной геометрии вездесущи в современной математике--от математической физики до алгебраической геометрии и теории категорий.
Мы остановимся на нескольких темах.
1. (Ко)гомологии Хохшильда и циклические гомологии. Последние позволяют, например, определить аналог комплекса де Рама для любой некоммутативной дг алгебры или любой дг категории.
2. Теория операд, гомотопические и высшие структуры. Мы изучим в частности $A_\infty$ и $L_\infty$ алгебры, являющиеся гомотопическими версиями ассоциативных алгебр и алгебр Ли, а также $n$-алгебры. Мы определим Кошулевы операды и построим по Кошулевой операде ее каноническую свободную резольвенту.
-
Современная теория деформаций, при которой вся информация о деформируем объекте закодирована в дг алгебре Ли, а по ней строится функтор деформации на артиновых коалгебрах. Мы построим эти дг алгебры Ли связанные с деформациями ассоциативных алгебр, алгебр над операдой, комплексных структур, ... Мы покажем инвариантность функтора деформаций относительно квазиизоморфизма дг алгебр Ли.
-
Формальность Концевича в форме Концевича и в форме Тамаркина. Формальность Концевича позволяет сводить вопросы квантования алгебры полиномов (или, более общо, гладких коммутативных алгебр) к некоторым более простым инфинитезимальным вопросам. В частности это дает универсальную формулу для деформационного квантования. Подход Концевича связан с идеями пришедшими из математической физики--топологической теории поля на диске, а подход Тамаркина связан с теорией деформаций операд и приводит к более сильному утверждению. Если позволит время, мы разберем оба подхода.
\endcomment
Некоммутативная геометрия и теория деформаций
Б. Шойхет (Институт Эйлера, ПОМИ)
Студенты МКН могут выбрать этот спецкурс официально.
Контактный адрес Б. Шойхета borya_port@yahoo.com
Всех интересующихся просьба регистрироваться тут
Первая лекция в 12:00 в субботу 17 сентября в аудитории 311 ПОМИ РАН
Некоммутативная геометрия это очень широкий предмет, который изучает различные подходы к тому что могло бы быть некоммутативным аналогом обычных многообразий. Например, можно пытаться склеить пространство из некоммутативных ассоциативных алгебр, или же рассматривать дифференциальную градуированную (дг) категорию как замену дг категории пучков на коммутативном многообразии. При этом можно в абстрактных категорных терминах переговорить гладкость, компактность, переговорить на языке дг категорий различные когомологические теории, ассоциированные с многообразием, и тд. Можно также рассматривать некоммутативные многообразия как деформации коммутативных. Идеи некоммутативной геометрии вездесущи в современной математике–от математической физики до алгебраической геометрии и теории категорий. Мы остановимся на нескольких темах.
1. (Ко)гомологии Хохшильда и циклические гомологии. Последние позволяют, например, определить аналог комплекса де Рама для любой некоммутативной дг алгебры или любой дг категории.
2. Теория операд, гомотопические и высшие структуры. Мы изучим в частности A∞ и L∞ алгебры, являющиеся гомотопическими версиями ассоциативных алгебр и алгебр Ли, а также n-алгебры. Мы определим Кошулевы операды и построим по Кошулевой операде ее каноническую свободную резольвенту.
3. Современная теория деформаций, при которой вся информация о деформируем объекте закодирована в дг алгебре Ли, а по ней строится функтор деформации на артиновых коалгебрах. Мы построим эти дг алгебры Ли связанные с деформациями ассоциативных алгебр, алгебр над операдой, комплексных структур, ... Мы покажем инвариантность функтора деформаций относительно квазиизоморфизма дг алгебр Ли.
4. Формальность Концевича в форме Концевича и в форме Тамаркина. Формальность Концевича позволяет сводить вопросы квантования алгебры полиномов (или, более общо, гладких коммутативных алгебр) к некоторым более простым инфинитезимальным вопросам. В частности это дает универсальную формулу для деформационного квантования. Подход Концевича связан с идеями пришедшими из математической физики–топологической теории поля на диске, а подход Тамаркина связан с теорией деформаций операд и приводит к более сильному утверждению. Если позволит время, мы разберем оба подхода.
