Speaker
Description
Теория квазиконформных отображений в $\mathbb R^n$, $n\geq2$, начало которой положено в работах 60-ых годов прошлого века, стимулировала различные обобщения, каждое из которых имеет свою область применения и специфические методы доказательств. Мы рассмотрим основные этапы развития квазиконформного анализа: от классической теории функций до ее современного состояния.
Основная цель~--- сформулировать новую обобщающую концепцию, содержащую в качестве частного случая большинство исследуемых в литературе классов отображений.
Будем говорить, что гомеоморфизм $\psi : D \to D'$ областей $D,D'$ в $\mathbb R^n$, $n\geq2$, принадлежит классу $\mathcal Q_{q,p;\omega}$, где $\omega:D'\to (0,\infty)$ --- весовая функция, если для любого кубического кольца $U = Q(x,R) \setminus \overline{Q(x, r)}\subset D'$ с прообразом $\psi^{-1}(U) = \psi ^{-1}(Q(x,R)) \setminus \psi^{-1}(\overline{Q(x, r)})$ в $D$ верно неравенство
$
Cap_q^{\frac{1}{q}}(\psi^{-1}(U); L^1_q(D)) \leq
\begin{cases}
K_p Cap_p^\frac1p(U;L^1_p(D';\omega)),&\quad{1 где $K_p\in(0,\infty)$ --- некоторая константа, а $\Psi_{q,p}$ --- некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества на системе $\mathcal O_c(D)$ открытых множеств, a $\sigma$ определяется из $\frac1\sigma=\frac1q-\frac1p$, если $1 < q < p <\infty$, и $\sigma=\infty$, если $1 < q < p < \infty$. Оказывается~[1, Теорема 18], что {\it гомеоморфизм $\psi: D\to D'$ принадлежит классу $\mathcal Q_{q,p;\omega}$ тогда и только тогда, когда выполняется любое из двух условий. $(2)$ Оператор композиции $\psi^* : L^1_p(D';\omega)\cap \mathrm{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')\to L^1_q
(D)$ ограничен, $1 < q \leq p <\infty$. Здесь $\psi^*(f) =f\circ\psi$ для $f\in L^1_p(D';\omega)\cap \mathrm{Lip}_{\mathrm{loc}}(D')$.} Заметим, что гомеоморфизмы класса $\mathcal Q_{n,n;1}$ суть квазиконформные отображения; гомеоморфизмы класса $\mathcal Q_{q,p;1}$ совпадают с классами отображений работы Водопьянова С.\,K. и Ухлова~А.\,Д. [2], а гомеоморфизмы класса $\mathcal Q_{n,n;\omega}$~--- с классами отображений монографии [3]. Гомеоморфизмы класса $\mathcal Q_{q,p;\omega}$ Для гомеоморфизмов класса $\mathcal Q_{q,p;\omega}$ установлены новые результаты, не имеющие аналогов в классической теории, например, независимость класса отображений от применения модульного или емкостного определений [5], а также совпадение всех функций множества, возникающих либо при функциональном определении, либо алгебраическом или геометрическом определениях [1] [2] [3] [4] [5] [6]
$(1)$ $\psi\in W^1_{q,\mathrm{loc}}(D)$ имеет конечное искажение$:$ $D\psi(x) = 0$ почти всюду на $Z = \{x \in D
\mid \det D\psi(x) = 0\}$, и операторная функция искажения
$
D\ni x\to K_{q,p} (x, \psi) =
\begin{cases}
\frac{|D\psi(x)|}
{| \det D\psi(x)|^\frac1p\omega^\frac1p(\psi(x))}, &\quad \text{если $\det D\psi(x)\ne 0$},\\
0, &\quad \text{если $\det D\psi(x) = 0$},
\end{cases}
$
принадлежит $L_\sigma(D)$.
при $\theta\equiv1$ и $n-1\leq q
[6].
Водопьянов С.\,К.
О регулярности отображений, обратных к
соболевским, и теория $\mathcal Q_{q,p}$-гомеоморфизмов,
\textit{ Сиб. мат. журн.}, {\bf 61}, nr. 6, 1257--1299 (2020).
Водопьянов С.\,К., Ухлов А.\,Д.
Классы Соболева и $(P,Q)$-квазиконформные отображения,
{\it Сиб. мат. журн.}, {\bf 39}, nr. 4, 776--795 (1998).
Martio O., Ryazanov V., Srebro U., and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory --- New York: Springer, 2008.
Molchanova~A., Vodopyanov~S.
Injectivity almost everywhere and mappings with finite
distortion in nonlinear elasticity,
{\it Calc. Var.}, {\bf 59}, nr. 17 (2020).
Водопьянов С.\,К.
Об эквивалентности двух подходов к задачам квазиконформного анализа,
{\it Сиб. мат. журн.}, {\bf 62}, nr. 6, 1252--1270 (2021).
Водопьянов С.\,К.
О совпадении функций множества в квазиконформном анализе,
{\it Математический сборник}, {\bf 213}, nr. 9, 3--33 (2022).
