Одной из главных тем частотно-временного анализа является поиск представления произвольной функции $f\in L^2(\mathbb{R})$ как суммы хорошо локализованных функций в частотно-временной плоскости. Для $g\in L^2(\mathbb{R})$ рассмотрим набор $\mathcal{G}(g;\Lambda)=\{\pi_{\mu, \nu} g\}_{(\mu, \nu) \in \Lambda},$
где $\pi_{x,\omega}g(t)=e^{2\pi i \omega t}g(t-x)$, а $\Lambda \subseteq \mathbb{R}^2$ --- некоторая свободная абелева группа. Такой набор называется системой Габора функции $g(t)$ по решетке $\Lambda$. Если вдобавок выполнено
$ A\|f\|^2_2\leq \sum_{m,n}|(f, \pi_{\mu, \nu} g)|^2\leq B\|f\|^2_2, \quad f\in L^2(\mathbb{R}),$
то этот набор называется фреймом Габора, а множество $\mathcal{F}_g =\{\Lambda \mid \mathcal{G}(g;\Lambda) \text{ система Габора}\}$ называется фрейм-множеством функции $g(t)$.
Полное описание фрейм-множеств $\mathcal{F}_g$ даже для классического случая решеток $\Lambda = \alpha \mathbb{Z} \times \beta \mathbb{Z}$ известно только для очень узкого класса функций: гауссиана $e^{-x^2}$ (см. [L,S,SW]), односторонней экспоненты $\chi_{x>0}e^{-x}$, симметричной экспоненты $e^{-|x|}$ (см. [Jans2,Jans3]) и гиперболического секанса $\frac{1}{e^x+e^{-x}}$ (см. [JansStr]). Недавно Белов с соавторами описали фрейм-множество для {\it рациональных функций герглотцевского типа} (см. [BKL1]). В 2023 году автор и Белов описали фрейм-множество сдвинутой sinc-функции и (бесокнечных) сумм спектральных сдвигов ядер Коши (см. [BelAVS]).
Логично задать вопрос --- что происходит в нерегулярном случае? В 2021 году Белов с соавторами дали ответ для ядра Коши в случае <<правильной>> решетки $\Lambda = M \times N$ (см. [BKL2]). Ранее в [GRS] был разобран случай $\Lambda \times \beta \mathbb{Z}$ для тотально положительных функций конечного типа --- к этой же статье мы отсылаем для изучения истории вопроса. Несмотря на довольно большое количество попыток, очень мало информации известно в данный момент. Возможно ли обобщить эти результаты для полностью нерегулярного случая произвольной решетки $\Lambda$ даже для таких естественных для изучения функций, как ядро Коши?\par
Доклад построен на кратком изложении результатов работы <<Frame set for shifted sinc-function>> (см. [BelAVS]) с дальнейшим обсуждением (полностью) нерегулярного случая для ядра Коши. Работа поддержана грантом 075-15-2022-287 министерства образования РФ. Также докладчик является победителем премии <<Молодая математика России>> и благодарен ее жюри и спонсорам.
[BKL1] Y. Belov, A. Kulikov, Y. Lyubarskii, \textit{Gabor frames for rational functions}, Inventiones Mathematique, 231:431--466 (2023).
[BKL2] Y. Belov, A. Kulikov, Y. Lyubarskii, \textit{Irregular Gabor frames of Cauchy kernels}, preprint https://browse.arxiv.org/pdf/2104.01121.pdf
[BelAVS] Y. Belov and Andrei V. Semenov, \textit{Frame set for shifted sinc-function}, preprint, https://browse.arxiv.org/pdf/2309.05969.pdf
[GRS] K. Gr¨ochenig, J.L. Romero, J. St¨ockler, \textit{Sampling theorems for shift-invariant spaces,
Gabor frames, and totally positive functions}. Invent. Math. 211 (2018), no. 3, 1119-
1148.
[Jans2] A. J. E. M.~Janssen, {\em Some Weyl-Heisenberg frame bound calculations,} Indag. Math., 7:165--
182, (1996).
[Jans3] A. J. E. M.~Janssen, {\em On generating tight Gabor frames at critical density,} J. Fourier Anal.
Appl., 9(2):175--214, (2003).
[JansStr] A.~Janssen, T.~Strohmer, {\em Hyperbolic secants yield Gabor frames},
Appl. Comput. Harmon. Anal., 12, 259--267, (2002).
[L] Yu.~Lyubarskii, {\em Frames in the Bargmann space of entire functions,} in: Entire and Subharmonic Functions, Adv. Soviet Math., vol. 11, Amer.\ Math.\ Soc., Providence, RI, 1992, pp. 167--180.
[S] K.~Seip, {\em Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann--Fock space. I,} J. Reine Angew.\ Math.\ {\bf 429} (1992) 91--106.
[SW}]
K.~Seip, R.~Wallst\'en, {\em Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann--Fock space. II, }J. Reine Angew.\ Math.\ {\bf 429} (1992) 107--113.
