Speaker
Description
Наипростейшими дробями (НД) порядка $n$ по предложению Е.П.~Долженко принято
называть рациональные функции, представляющиеся в виде
логарифмических производных алгебраических полиномов степени $n$.
Начиная с 60-х годов в научной школе Я.~Кореваара
исследовались аппроксимации такими дробями,
все полюсы которых $z_k$ располагаются на том или ином предписанном
множестве в $\mathbb{C}$. Так, из результатов
Кореваара следует, что любую аналитическую в единичном круге
$D=\{z:|z|<1\}$ функцию $f$ на любом компакте $K\subset D$ можно
сколь угодно точно равномерно приблизить наипростейшими
дробями с полюсами, лежащими на единичной окружности:
$
(1) g_n(z)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z-z_{k}}, \qquad |z_1|=\dots=|z_n|=1,
\quad |z|<1; \quad n=1,2,\dots.
$
В интегральных пространствах такие аппроксимации стали
изучаться по инициативе Ч.~Чуи, который в 1971 году
сформулировал задачу о существовании абсолютной константы
$C>0$ такой, что для любой НД вида (1)
интеграл по площади круга
(интерпретируемый как средняя напряжённость гравитационного поля,
создаваемого внутри круга $n$ точечными массами,
расположенными в точках $z_k$) допускает оценку
$\iint_{|z|<1} |g_n(z)|\,dxdy>C>0$ $(z=x+iy)$.
Решение задачи Чуи с константой $C=\pi/18$ было получено Д.~Ньюманом (1972).
Отсюда и из результатов Чуи (1973) вытекает критерий плотности дробей вида $(\ref{spf_N})$
в классических весовых пространствах Бергмана
$\mathbf{A}_\alpha^1$:
{\it дроби $g_n$ плотны в $\mathbf{A}_\alpha^1$,
если и только если $\alpha>0$}.
Приближения наипростейшими дробями с полюсами на окружности
рассматриваются и в интегральных пространствах на диаметрах круга.
Внимание на такие приближения впервые обратил С.Р. Насыров (2014), сформулировавший вопрос о том,
плотны ли дроби $g_n$ в пространстве $L_2[-1,1]$
(отрицательное решение этой задачи получено автором
в 2019 году).
В докладе обсуждаются недавние результаты, связанные с задачами
Чуи и Насырова и их обобщениями.
