Гипотезы Бигелоу: от ядер представлений групп кос к узлам неограниченной сложности

by Mr Илья Алексеев

Tuesday 10 Nov 2026, 13:40 → 15:40 Europe/Moscow

Zoom

Доклад посвящён разрешению гипотез Бигелоу о построении узлов, неразличимых заданными инвариантами, но существенно различающихся по своим топологическим и геометрическим свойствам. Отправная точка — представления групп кос, определяющие квантовые инварианты: если коса φ принадлежит ядру такого представления, то для любой косы ψ замыкания кос φψ и ψ неотличимы соответствующим инвариантом. Основная трудность — проверить, различны ли полученные зацепления.

Стивен Бигелоу (2002) предположил, что из неточности представления следует существование нетривиального узла, неотличимого соответствующим квантовым инвариантом от тривиального. Он сформулировал три гипотезы убывающей силы, каждая из которых влечёт исходное предположение. Наиболее слабая из них была доказана Тэцуей Ито (2015).

После напоминания конструкции Решетихина—Тураева, основанной на конечномерных U_q(g)-модулях, я изложу схему доказательства Ито, опирающегося на результаты Андрея Малютина (2004) и апериодичность квазиморфизма закрученности (коэффициента дробного скручивания Дена). Затем приведу контрпримеры к сильной гипотезе Бигелоу и представлю доказанную в моей диссертации (2026) промежуточную гипотезу. Обсужу ограничения методов, основанных на квазиморфизмах, и покажу, как их удаётся преодолеть с помощью асимптотического числа переноса для действия группы кос на графе закреплённых граничных дуг.

От качественных вопросов о нетривиальности узлов я перейду к количественным: насколько сложными могут быть узлы, неотличимые заданными инвариантами? В контексте гипотезы объёма Кашаева—Мураками—Мураками я приведу конструкцию, позволяющую для любого узла построить семейство гиперболических узлов с изоморфными модулями Александера, совпадающими функциями сигнатуры Левина—Тристрама, одинаковыми инвариантами Васильева—Гусарова до заданного порядка и подходящими квантовыми инвариантами, но с неограниченными объёмом, гладким срезанным родом и размерностями гомологий Хованова и гомологий Хегора—Флоера двулистных разветвлённых накрытий.