Lecture 14

Wednesday 1 Dec 2021, 13:40 → 15:10 Europe/Moscow

Диагональные полиномы над конечными полями. 𝐶1 свойство конечных полей.

Над конечным полем F𝑝 рассматриваются полиномы вида 𝑎1𝑥1^𝑟1 + · · · + 𝑎𝑛𝑥n^𝑟^𝑛, где все коэффициенты 𝑎𝑖 не делятся на 𝑝. С помощью мультипликативных характеров и гауссовых сумм устанавливаются нижняя и верхняя оценки для числа решений 𝑁 сравнения 𝑎1𝑥1^𝑟1 +· · ·+𝑎𝑛𝑥n^𝑟^𝑛 ≡ 0( mod 𝑝). А именно имеет место неравенство |𝑁 − 𝑝^𝑛−1| ≤ 𝐶(𝑝 − 1)𝑝^𝑛/2 −1, где 𝐶 = (𝑑1 − 1)(𝑑2 − 1). . .(𝑑𝑟 − 1), 𝑑𝑖 = 𝑔𝑐𝑑(𝑟𝑖
, 𝑝 − 1). Мы также показываем, что любое конечное поле 𝐹 является полем класса 𝐶1. Это означает, что для любого однородного многочлена 𝑓 степени 𝑛 от 𝑛 + 1 переменных уравнение 𝑓(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛+1) = 0 имеет
ненулевое решение над 𝐹 (теорема Шевалле-Варинга).