Молодежная школа института Эйлера по математическому анализу на Фонтанке
26-30 октября 2026
Цель школы-конференции — ознакомить студентов, аспирантов и молодых ученых с современными направлениями исследований в комплексном и вещественном анализе и смежных областях математики. Краткие курсы лекций прочтут К.Ю. Федоровский, А.П. Солодов, Д.Н.Запорожец и А.И.Назаров. Молодые участники выступят с докладами о своих достижениях.
Адрес проведения: Санкт-Петербург, набережная реки Фонтанки, д.27
Регистрация открыта до 25 сентября.
Для определенного числа молодых докладчиков предусмотрена компенсация стоимости проживания и/или проезда.
Планируемые лекторы:
Программный комитет:
- С.В. Кисляков (ПОМИ РАН, СПбГУ)
- И.М. Васильев (ПОМИ РАН, СПбГУ)
- А.С. Целищев (ПОМИ РАН)
Учреждения, участвующие в организации мероприятия:
- Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН
- Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера
Краткое содержание курсов
Экстремальные задачи на классах голоморфных отображений круга в себя
(д. ф.-м.н., А.П.Солодов, МГУ)
В геометрической теории функций важное место занимают различные экстремальные задачи, связанные с получением точных оценок функционалов на классах аналитических функций. К их числу относятся проблема коэффициентов, теоремы вращения и искажения, задачи о радиусах однолистности, звездности и выпуклости, теоремы о покрытии и др. Цель курса — познакомить слушателей с некоторыми такими задачами, в основном на классах ограниченных аналитических в круге функций, а также продемонстрировать красоту и мощь методов комплексного анализа.
В случае голоморфного отображения единичного круга в себя естественным образом возникают неподвижные точки, почти все из которых граничные. Расположение неподвижной точки (внутри или на границе круга) и ее характер (притягивающая или отталкивающая) оказывают существенное влияние на аналитические и геометрические свойства отображения, исследование которых нуждается в эффективных инструментах. Одним из них является леммаШварца. Это простой и геометрически наглядный результат. Он изучается в базовом курсе комплексного анализа, однако в рамках стандартной программы студенты не имеют возможности в полной мере оценить его фундаментальность. Лемма Шварца и ее обобщения— тема, красной нитью проходящая через весь курс. Сила леммы Шварца будет продемонстрирована, в частности, при доказательстве теоремы Пика о разрешимости конечной интерполяционной задачи. Другим важным инструментом в наших исследованиях будет теорема Жюлиа—Каратеодори. В некотором смысле это аналог леммы Шварца на случай граничной неподвижной точки. Мы дадим геометрическую интерпретацию этого результата, его полезные переформулировки и обобщение на случай нескольких граничных неподвижных точек. Наконец, продемонстрируем эффективность теоремыЖюлиа—Каратеодори при решении экстремальных задач на классах функций с граничными неподвижными точками. Здесь мы сфокусируем внимание на задачах о наибольших областях однолистности и однолистного покрытия. Сначала приведем переработанные доказательства классических теорем Э. Ландау о точных кругах однолистности и однолистного покрытия на классе функций с внутренней неподвижной точкой, а затем, поняв причины существования этих кругов и увидев геометрию, стоящую за их конкретными размерами,получим, опираясь на теоремуЖюлиа—Каратеодори, наибольшие области однолистности и однолистного покрытия на классах функций, имеющих граничные неподвижные точки.В заключение будет дан экскурс в известную и до сих пор не решенную проблему
Блоха, а также предложены новые подходы для ее исследования, базирующиеся на изложенных в курсе результатах.
Аппроксимация аналитическими функциями – классические задачи и
современные результаты
(д. ф.-м.н., К.Ю.Федоровский, МГУ)
Задачи аппроксимации функций различными аналитическими агрегатами
(голоморфными или гармоническими многочленами, рациональными функциями комплексного переменного, гармоническими и полианалитическими функциями со специальным образом расположенными особенностями и пр.) – это классическая тематика современного анализа, корни которой восходят к работам классиков анализа К.Вейерштрасса и К. Рунге. Эта задачи имеют глубокие связи со многими разделами комплексного и функционального анализа, с теорией краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений и систем. В рамках курса мы проследим развитие теории приближений аналитическими функциями начиная со ставших уже классической работ Дж. Уолша и М.В. Келдыша об аппроксимации гармоническими функциями, А.Г. Витушкина и С.Н. Мергеляна об аппроксимации голоморфными функциями и многочленами и заканчивая недавно полученными критериями аппроксимации для решений общих эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами. Нас будут интересовать т.н. «качественные» задачи теорииmприближений, в которых основной вопрос – это вопрос о возможности аппроксимации данной функции или любой функции некоторого естественного класса соответствующими аналитическими агрегатами, но (пока) не вопрос о скорости аппроксимации или об оценках элементов наилучшего приближения. Мы обсудим природу условий приближаемости, возникающих в этих задачах и недавние результаты о свойствах возникающих здесь емкостей и других аналитических характеристик множеств, в терминах которых формулируются критерии приближаемости. Курс будет носить обзорный характер – основное внимание будет уделено постановкам задач, природе возникающих в них условий приближаемости (для классов функций и для индивидуальных функций) и формулировке недавних результатов, в то время как доказательства (а точнее говоря, схемы доказательств) будут даны для нескольких классических случаев, которые оказались модельными для всей рассматриваемой тематики.
Дополнительные главы вариационного исчисления
(д. ф.-м.н., А.И.Назаров, ПОМИ РАН).
Я расскажу о применении вариационного исчисления для решения краевых задач УрЧП. На примере задачи Дирихле для простейшего полулинейного уравнения я продемонстрирую методы доказательства существования и несуществования решений, их единственности и множественности.
Для понимания курса необходимы курсы функционального анализа и уравнений математической физики, желательно с основными свойствами пространств Соболева.
О нулях ортогональных и случайных полиномов
(д.ф.-м.н., член-корреспондент РАН, Д.Н. Запорожец, ПОМИ РАН)
Курс будет посвящён различным вопросам, связанным с поведением
нулей ортогональных и случайных полиномов, прежде всего в задачах на
единичной окружности. Мы обсудим некоторые основные конструкции теории ортогональных полиномов и их операторные интерпретации, а также вероятностные модели, в которых случайными являются параметры меры или коэффициенты самого полинома. На этих примерах будут прослежены связи между комплексным анализом, спектральной теорией и теорией вероятностей. Особое внимание предполагается уделить глобальному и локальному распределению нулей и различным проявлениям универсальности.
Мероприятие проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России:
- грант на создание и развитие МЦМУ «Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера» соглашение № 075–15–2025–344
