Кружок по дополнительным главам алгебры

О некоторых полиномиальных базисах

Europe/Moscow
: https://teams.microsoft.com/l/meetup-join/19%3a43c141db99614d6d80fe5183d09bc25d%40thread.tacv2/1615590939294?context=%7b%22Tid%22%3a%228681a15c-23d6-4921-b30e-393b84f79d2c%22%2c%22Oid%22%3a%220abbfc91-0b93-4161-9c0b-1c3a48ab9f3c%22%7d
Description

Формальные степенные ряды с нулевым свободным членом можно подставлять друг в друга
и они образуют группу относительно композиции.
Удивительным образом, из формального степенного ряда с вещественными коэффициентами можно извлекать композиционные корни —- квадратные, кубические, и вообще возводить в произвольную "степень" относительно операции композиции.

Оказывается, что эта группа изоморфна некоторой подгруппе в группе бесконечных унитреугольных матриц, которые можно трактовать
как матрицы перехода от стандартного базиса кольца многочленов к другому базису $p_n(X)$, гдe ${\rm deg} p_n=n$.

Полиномиальные базисы, отвечающие формальным степенным рядам принято называть биномиальными последовательностями, так как
они удовлетворяют тождеству, обощающему бином Ньютона:

$p_n(X+Y)=\sum\limits_{k+\ell=n} {\rm C}_n^k p_k(X)p_{\elll}(Y)$.
Смотрите про них текст С.К.Ландо для школьников:
https://www.mccme.ru/dubna/2008/notes/Lando/Umbral.pdf

Join conversation

Organized by

Konstantin Pimenov